内接円を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)
「ピタゴラスの定理」の記事における「内接円を用いた証明」の解説
△ABC の面積 S は S = a b 2 {\displaystyle S={\frac {ab}{2}}} (1) である。また △ABC の内接円の半径を r とすると c = ( a − r ) + ( b − r ) {\displaystyle c=(a-r)+(b-r)} であり、これを半径 r について解くと r = a + b − c 2 {\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}} (2) となる。一方、三角形の面積 S を内接円の半径 r を用いて表すと S = r ( a + b + c ) 2 {\displaystyle S={r(a+b+c) \over 2}} (3) となる。(3) に (1), (2) を代入すると a b 2 = ( a + b − c ) ( a + b + c ) 4 {\displaystyle {ab \over 2}={(a+b-c)(a+b+c) \over 4}} となり、整理すると a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} が得られる。
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