アイソモーフィズムとは？わかりやすく解説

同型写像（どうけいしゃぞう、（英: isomorphism^{[note 1]}）あるいは単に同型とは、数学において準同型写像あるいは射であって、逆射を持つものである^{[note 2]}。

解説

2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは、それらの間に同型写像が存在することをいう。自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である。同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある。したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい。

1の5乗根が乗法についてなす群は正五角形の回転が合成についてなす群に同型である。

群や環を含むほとんどの代数的構造に対して、準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である。

位相幾何学において、射とは連続写像のことであるが、同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる。解析学において、射は可微分関数であり、同型写像は微分同相とも呼ばれる。

標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるような標準的な写像（英語版）である。2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは、それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう。例えば、有限次元ベクトル空間 $V$ から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である。一方、 $V$ は双対空間に同型であるが、一般には標準的にではない。

同型写像は圏論を用いて形式化される。ある圏の射 $f : X \to Y$ が同型射であるとは、両側逆射を持つことをいう。すなわち、その圏における別の射 $g : Y \to X$ があって、 $gf = 1 X$ かつ $fg = 1 Y$ となる。ただし $1 X$ と $1 Y$ はそれぞれ $X$ と $Y$ の恒等射である^[1]。

例

対数と指数

$R +$ を正の実数のなす乗法群とし、 $R$ を実数のなす加法群とする。

対数関数 $log: R + \to R$ はすべての $x, y \in R +$ に対して $log(xy) = log x + log y$ を満たすので、それは群準同型である。指数関数 $exp: R \to R +$ はすべての $x, y \in R +$ に対して $exp(x + y) = (exp x)(exp y)$ を満たすので、それも準同型である。

恒等式 $log exp x = x$ および $exp log y = y$ は $log$ と $exp$ が互いの逆関数であることを示している。 $log$ は準同型である逆関数を持つ準同型であるから、群同型である。

$log$ は同型だから、正の実数の積を実数の和に翻訳する。この機能により、定規と対数表（英語版）を用いて、あるいは対数スケールの計算尺を用いて実数を掛けることができる。

6を法とした整数

$0$ から $5$ までの整数が 6 を法とした加法でなす群 $(Z 6, +)$ を考える。また、群 $(Z 2 \times Z 3, +)$ を考える。これは $x$ 座標が 0 か 1 で $y$ 座標が 0 か 1 か 2 の順序対で、加法は $x$ 座標は 2 を法とし、 $y$ 座標は 3 を法とする。

これらの構造は以下の対応によって同型である：

(0,0) \to 0

(1,1) \to 1

(0,2) \to 2

(1,0) \to 3

(0,1) \to 4

(1,2) \to 5

あるいは一般に $(a, b) \to (3 a + 4 b) mod 6.$

例えば、 $(1, 1) + (1, 0) = (0, 1)$ であり、もう一方に翻訳すると $1 + 3 = 4$ である。

これらの2つの群は集合が異なる元を含むという意味で違って「見える」にもかかわらず、それらは実際同型であり、構造は全く同じである。より一般に、2つの巡回群 $Z m$ と $Z n$ の直積が $Z mn$ と同型であるのは、 $m$ と $n$ が互いに素であるとき、かつそのときに限る。

関係を保つ同型

1つの対象が集合 $X$ と二項関係 $R$ からなり、もう1つの対象が集合 $Y$ と二項関係 $S$ からなるとき、 $X$ から $Y$ への同型写像は全単射 $f : X \to Y$ であって

\operatorname {S} (f(u),f(v))\iff \operatorname {R} (u,v)

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