ほとんど整数

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ほとんど整数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/08/06 13:59 UTC 版)

ある数がほとんど整数（ほとんどせいすう、英: almost integer）であるとは、整数ではないが、整数に非常に近いことを意味する。どれほど近ければ十分であるのか明確な決まりはないが、一見して整数に近いとは分からないのに近似値を計算すると驚くほど整数に近い数で、小数点の直後に0か9が数個連続する場合にこのように表現される。例えば、「インドの魔術師」の異名をもつシュリニヴァーサ・ラマヌジャンは

$22\pi ^{4}=2143.000002748\dots$

d の値は非常に整数に近い

エドワード・ペグ・ジュニアは、三角形にほとんど整数である数が隠れていることを指摘した。AB = 27, BC = 30, CA = 22 である三角形の内部に点 O を、OB = 23, OC = 16 となるようにとると、OA はいくらになるだろうか。実際に作図してみると、ほぼ 7 と測定される。しかし、正確には

${\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{30}}(61421-23{\sqrt {5831385}})}}$

であって、およそ 7.00000008573675… である。

物理学における例

微細構造定数 α はディラック定数 ħ、真空中の光速度 c、電気素量 e、真空の誘電率 ε₀ の組み合わせによって

$\alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\,\hbar c}}=7.297\,352\,5664(17)\times 10^{-3}$

で与えられる単位の次元を持たない無次元量であり、その逆数 α⁻¹ は

$\alpha ^{-1}=137.035\,999\,139(31)$

と、非常に 137 に近い値を取る。イギリスの天体物理学者アーサー・エディントンをはじめとする何人かの物理学者は何故、この値が 137 に近いのか、説明を与えようと試みてきているが、それらについては数遊びに過ぎないという批判もある。

ラマヌジャンの定数

1975年のエイプリルフールに、マーティン・ガードナーはサイエンティフィック・アメリカン誌のコラム「数学ゲーム」(Mathematical Games) において、次のようなジョークを発表した。一見してとても整数とは思われない数

$e^{\pi {\sqrt {163}}}$

が整数 262537412640768744 に等しいということは、かのラマヌジャンも予想していたことだという。実際には、ゲルフォント＝シュナイダーの定理から超越数であることが分かり、近似値は 262537412640768743.99999999999925007… である。この数が整数に近い理由は、保型関数の理論を用いて説明される。背景には、虚二次体 $\scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})$ の類数が 1 であるという事実がある。類数が 1 であるような虚二次体 $\scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ は、d が

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 （オンライン整数列大辞典の数列 A3173）

のいずれかのものに限ることが知られており、これらの数から整数に近い一連の数

${\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0.00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0.0000013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0.00000000000075\end{aligned}}$

が得られる。このうち、最後のものをラマヌジャンの定数という。これはサイモン・プラウフによって名付けられたものであり、前述のジョークに由来している。ラマヌジャン自身は類似の数に言及しているものの、直接に関与したという事実は知られていない。

その他の例

その他にも、数多くの整数に近い数の例が与えられている。以下、単純なものを列挙する。

• e⁶ − π⁴ − π⁵ = 0.000017673…（ほとんど0）
• π⁹/e⁸ = 9.9998387978…（ほとんど10）
• 163 (π − e) = 68.9996644963…（ほとんど69）
• 5φe/7π = 1.0000097…（ほとんど1）

脚注

出典

関連項目

• 0.999... - （実数において）ほとんど1ではなく、完全に1に等しい。