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約数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/15 03:55 UTC 版)

定義

整数 $a \neq 0$ が $N$ の約数であるとは、「ある整数 $b$ をとると $N = ab$ が成立することである」であるが、条件「 $a \neq 0$ 」を外すこともある。このときは、 $N = 0$ のときに限り $0$ も約数になる。約数が無数にある整数は $0$ だけである。

負の符号は本質的な問題ではないため、ここでは以下現れる数はすべて自然数とする。

どのような自然数 $N$ に対しても、 $1$ と自分自身 $N$ は $N$ の約数である。 $2$ 以上の自然数はさらに、約数の個数が $2$ であるかそれより大かで分けられる。 $1$ と自分自身以外に約数をもたない自然数を素数といい、そうでない自然数を合成数という。合成数は重複を許した2個以上の素数の積である。

例えば、

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, \dots

（オンライン整数列大辞典の数列 A40）

は素数であるが、 $12$ の約数は、

12 \div 1 = 12

12 \div 2 = 6

12 \div 3 = 4

12 \div 4 = 3

12 \div 6 = 2

より、 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ の6個である。

合成数の列は

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, \dots

（オンライン整数列大辞典の数列 A002808）

例えば $60$ は約数の個数が12個もあり、もれなく挙げるのはたいへんである。そこで、「 $a$ が $N$ の約数ならば、 $N / a$ も $N$ の約数である」ことを使うと、半分程度の労力で済む。

60

の約数：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 60 / 6, 60 / 5, 60 / 4, 60 / 3, 60 / 2, 60 / 1

一般に、平方数のときに限り約数の個数は奇数になる。

36

の約数：

1, 2, 3, 4, 6 (= 36 / 6), 36 / 4, 36 / 3, 36 / 2, 36 / 1

一般に、約数の個数を求めるとなると、素因数分解が効果を発揮する。

N

の素因数分解を

N = 2 a 1 3 a 2 5 a 3 \dots

とすると、

N

の約数の個数は

(a 1 + 1)(a 2 + 1)(a 3 + 1)\dots

個

素因数分解の可能性と一意性（特に一意性）は自明な定理ではない（これを算術の基本定理という）。しかし、これにより約数を式で表すことができる：

60 = 2 2 \times 3 \times 5

より、

60

の約数：

2 a \times 3 b \times 5 c (0 \leq a \leq 2, 0 \leq b \leq 1, 0 \leq c \leq 1)

参考文献

^ Kiyosi Itô, ed. (1987), Encyclopedic Dictionary of Mathematics, I (Second ed.), MIT Press, p. 251, ISBN 978-0-262-09026-1

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