その他の公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/17 03:53 UTC 版)
オイラーは約数関数が以下のように表されることを示した。 σ 1 ( n ) = σ 1 ( n − 1 ) + σ 1 ( n − 2 ) − σ 1 ( n − 5 ) − σ 1 ( n − 7 ) + σ 1 ( n − 12 ) + σ 1 ( n − 15 ) − . . . = ∑ i = 1 ∞ ( − 1 ) i + 1 ( σ 1 ( n − 1 2 ( 3 i 2 − i ) ) + σ 1 ( n − 1 2 ( 3 i 2 + i ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(n)&=\sigma _{1}(n-1)+\sigma _{1}(n-2)-\sigma _{1}(n-5)-\sigma _{1}(n-7)+\sigma _{1}(n-12)+\sigma _{1}(n-15)-...\\&=\sum _{i=1}^{\infty }{(-1)^{i+1}}\left(\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)\right)+\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}(3i^{2}+i)\right)\right)\end{aligned}}} なおこの数式で、 n < 0 {\displaystyle n<0} のとき σ 1 ( n ) = 0 {\displaystyle \sigma _{1}(n)=0} とし、 σ 1 ( 0 ) = n {\displaystyle \sigma _{1}(0)=n} とする。 約数関数は以下の三角関数を用いた式で表すこともできる。 σ x ( n ) = ∑ μ = 1 n μ x − 1 ∑ ν = 1 μ cos 2 π ν n μ {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{x-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {\frac {2\pi \nu n}{\mu }}} またゼータ関数 ζ(s) とは ∑ n = 1 ∞ σ a ( n ) n s = ζ ( s ) ζ ( s − a ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)} という関係式をもつ。 σ(n)の増加の割合は以下の式で表される。 lim sup n → ∞ σ ( n ) n log log n = e γ {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }} γ はオイラー定数である。 また、d(n)の増加の割合は以下の式で表される。 lim sup n → ∞ log d ( n ) log log n log n = log 2 {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2} 実際、左辺の上極限記号内の分数の値が最大となるのは n = 6983776800 {\displaystyle n=6983776800} のときで、その値は 1.0660186 … {\displaystyle 1.0660186\ldots } であることが知られている。特に、任意の ε > 0 に対して、d(n) = o(nε) が成り立つ。 σ ( n ) < e γ n log log n {\displaystyle \sigma (n)
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その他の公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 05:43 UTC 版)
点と直線の最短距離を表す公式は他にも考えられる。以下の導出は、やはり直線がx軸にもy軸にも平行でないことを必要とする。 点P(x0, y0)と方程式 y = m x + k {\displaystyle y=mx+k} で与えられる直線を考える。すると、点Pを通る法線の方程式は y = x 0 − x m + y 0 {\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}} となる。 この2直線の交点は、直線上の点の中で点Pから最も近い点である。したがって、 m x + k = x 0 − x m + y 0 . {\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.} これをxについて解けば、 x = x 0 + m y 0 − m k m 2 + 1 . {\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.} 交点のy座標は、いま得られたx座標の式を直線の方程式に代入すれば求められて、 y = m ( x 0 + m y 0 − m k ) m 2 + 1 + k . {\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.} 2点間の距離は d = ( X 2 − X 1 ) 2 + ( Y 2 − Y 1 ) 2 {\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}} で求められるから、ここから点と直線の距離の公式として以下を得る。 d = ( x 0 + m y 0 − m k m 2 + 1 − x 0 ) 2 + ( m x 0 + m y 0 − m k m 2 + 1 + k − y 0 ) 2 = | k + m x 0 − y 0 | 1 + m 2 . {\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.} なお、ここでは直線の方程式をy=mx+kとしたが、ax+by+c=0と比較するとm =-a/b, k =- c/bである。これを上式に代入し整理すれば、最初に導出した点と直線の公式が確かに得られる。
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