圏 (数学)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/29 16:22 UTC 版)

例

以下は圏の例である。Borceux (1994, Examples 1.2.5, Examples 1.2.6)参照。

Etale_K - 体 K 上のエタール代数を対象とし、K-代数としての準同型を射とする。
コボルディズムは圏と見なせる。

分類	圏と記号	対象の類	射の類	合成	大きさ	備考
具体圏	集合の圏 Set	全ての集合	全ての写像	写像の合成	大きい
	マグマの圏 $Mag$	全てのマグマ	全てのマグマ準同型
	半群の圏 $SemiGrp$	全ての半群	全ての半群準同型
	モノイドの圏 $Mon$	全てのモノイド	全てのモノイド準同型
	群の圏 $Grp$	全ての群	全ての群準同型
	アーベル群の圏 $Ab$	全てのアーベル群	全ての群準同型			群の圏の充満部分圏 $Z$ -加群の圏と同じもの
	擬環の圏 $Rng$	全ての擬環	全ての擬環準同型
	環の圏 $Ring$	全ての単位的環	全ての単位的環準同型
	加群の圏 $R - Mod$	全ての $R$ -加群	全ての $R$ -加群準同型			$R$ は任意に固定した環非可換環なら左/右/両側加群の圏を考え得る
	ベクトル空間の圏 $K - Vect$	全ての $K$ -ベクトル空間	全ての $K$ -線型写像			$K$ は任意に固定した可換体 $K$ -加群の圏と同じもの
	表現の圏 $G - Mod$	全ての $G$ -アーベル群	全ての $G$ -同変写像（英語版）			$G$ は固定した群 $Z [G]$ -加群の圏と同じもの
	線型表現の圏 $G - Vect K$	全ての ( $K$ -係数) $G$ -線型空間	全ての $G$ -同変線型写像			$G$ は固定した群 $K [G]$ -加群の圏と同じもの
	射影表現の圏 $G - Proj K$	全ての ( $K$ -係数) $G$ -射影空間	全ての $G$ -同変射影変換			$G$ は固定した群
	多元環の圏 $K - Alg$	全ての $K$ -多元環	全ての $K$ -多元環準同型			$K$ は固定した可換環または可換体結合多元環の圏は分配多元環の圏の充満部分圏可換多元環の圏は（可換とは限らない）多元環の圏の充満部分圏
	位相空間の圏 $Top$	全ての位相空間	全ての連続写像
	一様空間の圏 $Uni$	全ての一様空間	全ての一様連続写像
	距離空間の圏 $Met$	全ての距離空間	全ての縮小写像			射は別の種類の写像を考え得る
	多様体の圏 $Man p$	全ての $C p$ -級多様体	全ての $C p$ -級写像
	ファイバー束の圏 $Bdl$	全てのファイバー束	全ての束写像
	前順序集合の圏 Ord	全ての前順序集合	全ての単調写像
	関係の圏 $Rel$	全ての集合	全ての二項関係	関係の合成	大きい	具体圏同様に対象を制限して様々な部分圏を考え得る
離散圏	離散圏 $C$	類 $C$ (任意)	恒等射のみ		場合による
離散圏	$I$ 上の離散圏 $I$	集合 $I$	恒等射のみ		小さい
	前順序集合（英語版） $(P, \leq)$	集合 $P$	$Hom(x, y) ≔ {x \to y} (if x \leq y)$ , $Hom(x, y) ≔ \emptyset (otherwise)$	推移律	小さい	反射律は射の単位律に相当半順序, 全順序集合, 順序数などでも同じ
	同値関係 $R$ を持つ集合 $(X, R)$	集合 $X$	$Hom(x, y) ≔ {x \to y} (if x R y)$ , $Hom(x, y) ≔ \emptyset (otherwise)$	推移律	小さい	$R$ は $X$ 上の固定した同値関係
単対象圏	モノイド $M$	* (任意)	$M$	与えられた演算	小さい
	群 $G$		$G$
	亜群 $G$		$G$			任意の射が同型射
	有向グラフ $(V, E)$	$V$	$E$ （ループがあってもよい）	路の連接	小さい	自由圏（英語版）と同一視できる箙も参照
2-圏	小さい圏の圏 $Cat$	全ての小さい圏	すべての函手	函手の合成	大きい	自然変換も考えると2-圏（英語版）の例となる
	函手圏 $Func (A, B)$	圏 $A, B$ 間のすべての函手	函手間のすべての自然変換	自然変換の垂直合成	大きい
擬圏	圏の圏 $CAT$	全ての圏	全ての函手	函手の合成	非常に大きい	実際には圏ではない

注

注釈

^ この目的でz記法の太いセミコロン $⨟$ (U+2A1F) が用意されている
^ これら語法にはやや注意が必要である。通常双圏には定義に現れる等式的公理において、等号の代わりに同型に緩めた条件を課す。厳密に等式として成り立つものは「厳密な 2-圏（英語版）」と言う。2-圏がどちらの意味であるかは文脈による。より高次の圏ではさらに状況が面倒である（どの等号を同型に緩めるかで定義の数は組合せ爆発する）。[1][2][3] などを参照。

出典

^ ^a ^b Eilenberg, S.; Mac Lane, S. (sep. 1945), “General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of The American Mathematical Society 58 (2): 231-294, doi:10.2307/1990284
^ Barr & Wells 2005, Chapter 1.
^ Awodey 2006, Definition 1.12.
^ Weibel 1994, Definition A.1.1.
^ Borceux 1994, Definition 1.2.1.