標準偏差とは?

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ひょう じゅんへんさ へう- [5] 【標準偏差】 〔standard deviation〕

資料散らばり度合を表す数値平均値と各資料の値の差(偏差)を2乗し,それを算術平均した値の平方根として求める。標準偏差が小さいことは,平均値のまわり散らばり度合小さいことを示す。 SD

標準偏差

分散の正の平方根

標準偏差(S.D.)


 分散 V あるいは不偏分散 U の平方根である。平均値と同じ次元を持つ。
標準偏差(S.D.)
標準偏差(S.D.)


 正規分布においては平均値と標準偏差は以下のような意味を持つ(正規分布の上確率計算正規分布パーセント点計算正規分布表を参照のこと)。
標準偏差(S.D.)
図 1.正規分布における標準偏差の意味---1

 平均値 ± 1 標準偏差の範囲内には全データの 68.27% が含まれる
標準偏差(S.D.)
図 2.正規分布における標準偏差の意味---2

 平均値 ± 2 標準偏差の範囲内には全データの 95.45% が含まれる


標準偏差

一組観測値散らばり 1散布 1変動 1ばらつき 1はその要素間の差異 2ないし偏差 2によって定まる。ここでは、もっとも普通の散布度 3のみが論じられる。範囲レンジ) 4一組要素最大値最小値の差である。四分位範囲 5第一第三四分位数142-2)の差で、一組観測数の半分占める。四分位偏差 6とも呼ばれる半四分位範囲 6四分位範囲半分であるが、しばしば散布度として扱われている。平均偏差 7平均からの個別項目の偏差正数算術平均(140-2)したものであり、分散 8はこれらの偏差2乗算術平均であり、標準偏差 9分散平方根である。


標準偏差

同じ測定繰り返し、そのデータ分布プロットすると、多く場合正規分布曲線に従う。この分布曲線は、中心となる中心分布大きさカーブ幅広さ)の2つのパラメータで定義される。 この分布幅広ければ値のばらつき大きく、狭ければばらつき小さい。このバラつきの程度数値したもの標準偏差(standard deviation)呼ばれる

定義

ばらつき程度数値化するためは、測定値平均値の差をとっていけばいいが、単純算術平均そのままとると、正負符号で値がキャンセルされてしまう。そこで、測定値平均値の差の二乗(偏差平方和)をもとめ、その総和を得る。この総和データ数で割ることによって、分散が得られる。

分散 (m:平均値)

<m>sigma^2~=~sum{}{n}{(x_i-m)^2}/n</m>

この分散平方根をとることによって、数値単位元に戻したものが標準偏差

標準偏差 (m:平均値)

<m>sigma~=~sqrt{sum{}{n}{(x_i-m)^2}/n}</m>

A
1 109
2 98
3 140
4 192

<m 12>SD~=~sqrt{(109-134.75)^2+(98-134.75)^2+(140-134.75)^2+(192-134.75)^2}/4~=~36.46</m>

Excel計算するには、データ母集団とみなす場合STDEVPデータ確率標本とみなす場合STDEV関数使います。

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標準偏差

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/04/24 08:35 UTC 版)

標準偏差(ひょうじゅんへんさ、: standard deviation, SD)は、日本工業規格では、分散の正の平方根と定義している[1]。データや確率変数の散らばり具合(ばらつき)を表す数値のひとつ。物理学[2]、経済学、社会学などでも使う。例えば、ある試験でクラス全員が同じ点数であった場合(すなわち全員が平均値であった場合)、データにはばらつきがないので、標準偏差は 0 になる。




  1. ^ JIS Z 8101-1:1999, 1.13 分散.
  2. ^ 伏見, p. 364, 第 VII 章 確率と統計 63節 算術平均、標準偏差.
  3. ^ a b 栗原 2011, p. 47
  4. ^ 稲垣 1990, p. 21.
  5. ^ 例えば、標本サイズが1の場合、ばらつきがないので標本の分散は必ず0となるが、母集団のばらつきは通常0ではない。
  6. ^ 吉澤 1989, pp. 78–79.
  7. ^ Brugger 1969, p. 32.
  8. ^ 例: (東京大学教養学部統計学教室編 1991)。
  9. ^ 分散または標準偏差の図による解説と具体例は、(村瀬, 高田 & 廣瀬 2007, pp. 52–53)などを参照。
  10. ^ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)”. 2016年1月30日閲覧。
  11. ^ Estimating Parameters Web Page
  12. ^ 健康統計学-散布度
  13. ^ 高崎経済大学非常勤講義 第4回「記述統計(2):代表値」
  14. ^ 標準偏差の不偏性


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