可測空間、測度空間、確率空間

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可測空間、測度空間、確率空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/12 03:22 UTC 版)

「空間 (数学)」の記事における「可測空間、測度空間、確率空間」の解説

距離や角度といったものは考えず、（各次元における立体の）容積のみを考察の対象とすることによって測度論が持ち上がってくる。測度とは、長さや面積の一般化であるとともに、質量や電荷の分布の一般化、あるいは確率論に対するコルモゴロフの手法に従えば、確率分布の一般化でもある。 古典数学における「立体」は単なる点集合よりもずっと正則な存在である。立体の境界の容積は 0 であるから、「立体の容積」とはその立体の「内部」の容積であり、立体の内部は立方体の無限列によって埋め尽くすことができる。これとは対照的に、勝手な点集合においては、その境界が 0 でない容積を持つことがある（例えば、与えられた立方体の内側に含まれる有理点全体の成す集合など）。測度論は、このような容積（や他の測度）の概念を可測集合と呼ばれる非常に漠とした集合のクラスへ一般化するものである。実際、応用上で非可測集合を扱うわけでないとしても、測度論を展開するには議論を可測集合（および可測函数）に制限しなければならない。 定義により与えられた可測空間における可測集合は可測函数および可測写像の概念を導く。位相空間を可測空間とするには、それが完全加法族を備えていなければならない。ボレル集合の成す完全加法族は最も典型的だが、それ以外のものも考えうる（ベール集合、普遍可測集合なども用いられる）。あるいは、位相とは関係なく、与えられた集合や写像の集まりから完全加法族を生成することもできる。非常によくある状況として、異なる位相が同じ完全加法族を導くことがある（例えば、可分ヒルベルト空間上のノルム位相と弱位相など）。可測空間の任意の部分集合はそれ自身可測空間になる。 標準可測空間（標準ボレル空間）は特に有用である。ユークリッド空間（あるいはもっと一般に完備可分距離空間）における、任意のボレル集合（特に任意の閉集合および開集合）は、標準可測空間である。任意の非可算標準可測空間は互いに同型になる。 測度空間は測度を備えた可測空間のことをいう。例えば、ユークリッド空間にルベーグ測度を考えたものは測度空間になる。積分論では、測度空間上の可測写像の可積分性や積分が定義される。 測度論において零集合と呼ばれる測度 0 の集合は無視できる。これに従い、全測度な（つまり補集合が無視できる）部分集合の間の同型として、「mod 0 同型」が定義される。 確率空間は、全空間の測度が 1 に等しい測度を備えた測度空間である。確率空間の（有限または無限）族の直積は、ふたたび確率空間となる。これは一般の測度空間を考えた場合には有限積のみが定義されることと対照的である。これにより、無限次元確率測度（特にガウス測度）が無数に存在することがわかるが、無限次元ルベーグ測度は存在しない。 標準確率空間は特に有用である。標準可測空間上の任意の確率測度は標準確率空間を導く。標準確率空間の（有限または無限）列の直積は、ふたたび標準可測空間を与える。すべての分解可能 (non-atomic) 標準確率空間は互いに mod 0 同型であり、その一つは区間 (0, 1) 上でルベーグ測度を考えることによって与えられる。 これらの空間はあまり幾何学的ではない。特に、他の空間では適当な方法で考えられる次元の概念が可測空間、測度空間および確率空間に対しては適用されない。