解析接続 例

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解析接続

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/19 23:20 UTC 版)

例

等比級数とそれの解析接続を複素平面上で可視化したもの。左図の水色点はsを表しており、水色の円形領域は級数∑∞
k=0 s^k の収束半径を示している。
右図の連結した黄線は、∑∞
k=0 s^k の有限和∑n
k=0 s^k において、n=0からn=20までの値をプロットし、それを繋いだものである。緑点は1/1−sを表している。 sが収束半径内にあるとき、有限和の値は1/(1-s)に吸い込まれる螺旋状に変化することがわかる。sが収束半径外にあるとき、有限和の値は中心を1/(1-s)として外側に広がる螺旋状に変化することがわかる。

※　以下の説明においてi は虚数単位とする。

複素数 z を変数とし、無限級数によって定義される関数

$f_{0}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}=1+z+z^{2}+\cdots$

を考える。この関数は、収束半径が 1 であり

$g(z)={\frac {1}{1-z}}$

に収束する。すなわち |z| < 1 の時に g(z) に収束する。

しかしながら、 g(z) は z≠1 において定義され、 f₀(z) と定義域が異なることが分かる。

※　以下では見通しをよくするために g(z) と級数を比べながら説明するが、普通は解析接続を用いるときに g(z) のように定義域の広い関数はわかっていない。

ここで、 g(z) を f₀(z) の収束円内の点 z = − 1/2 を中心にテイラー展開してみれば

$f_{-{1 \over 2}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({2 \over 3}\right)^{n+1}\left(z+{1 \over 2}\right)^{n}={2 \over 3}+{4 \over 9}\left(z+{1 \over 2}\right)+{8 \over 27}\left(z+{1 \over 2}\right)^{2}+\cdots$

であり、その収束半径は (3/2) であるので |z +(1/2) | < (3/2) において定義できることになる。つまり、 f(z) から f_−(1/2)(z) に取り替えることによって定義域を拡げられることがわかる。さらに z = − 1, − 2, … でのテイラー展開を考えることにより定義域を拡げていくことができる。この操作により定義域を拡げていけば 実部 Re(z) が 1 より小さい任意の z に関して、適当な無限級数をとればその値を定義できることが分かる。

さらに z = (1 + i)/2 における g(z) のテイラー展開

$f_{1+i \over 2}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(1+i)^{n+1}\left(z-{1+i \over 2}\right)^{n}$

$=1+i+2i\left(z-{1+i \over 2}\right)-2(1-i)\left(z-{1+i \over 2}\right)^{2}-4\left(z-{1+i \over 2}\right)^{3}-\cdots$

を考えると収束半径は 1/√2 である。 O(a,r) によって、 a を中心とする半径 r の開円板を表すことにすると f₀ は O(0,1) において定義され、 f_(1+i)/2 は O((1+i)/2,1/√2) において定義されていることになる。この 2つの開円板の共通部分では f₀(z) = f_(1+i)/2(z) であり

$h(z)={\begin{cases}f_{0}(z)&\left(z\in O\left(0,1\right)\right),\\f_{1+i \over 2}(z)&\left(z\in O\left({1+i \over 2},1\right)\right)\end{cases}}$

という関数を定義できる。この h(z) は、共通部分では f₀(z) = f_(1+i)/2(z) の値を取り、それ以外では、定義されている方の関数の値を取る関数である。これは Re(z) = 1 という線を越えて、 f₀ の定義域を拡げることができることを意味している。このように級数で表現でき、定義域が異なるが、共通部分では同じ値を取る関数を用いて定義域を拡げていく手法、あるいは、 f₀(z)に対して 上で与えたような h(z) のように定義域を拡げた関数のことを解析接続という。