解析接続 定義

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解析接続

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/19 23:20 UTC 版)

定義

ここでは、有理型関数の解析接続を定義する。正則関数に限って定義することもあるが、有理型関数は、分母分子ともに正則関数である分数で表されるような関数なので、有理型関数の解析接続の定義は、正則関数の解析接続の定義も含んでいる。正則関数で定義する場合はローラン級数の代わりに、 テイラー級数を用いる。

関数要素

リーマン球面 C の領域 D において定義された有理型関数 f(z) は任意の w ∈ D においてローラン展開が可能であり k を整数として

$f_{w}(z)=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}(z-w)^{n}$

二つの領域の共通部分の連結成分は一つとは限らない。一般に、どの重なりを用いて直接接続を行うかで、解析接続は異なる。

解析接続

f_m(z) は、複素平面の領域 D_m を定義域とする有理型関数とする。

D₁ ∩ D₂ が空でないとし、その連結成分の一つ P₁ を取る。 f₁ と f₂ の w ∈ P₁ での関数要素が等しいとき、 連結成分 P₁ 全体で f₁(z) ≡ f₂(z) となる。このとき f₂(z) を f₁(z) の 直接解析接続 (direct analytic continuation) あるいは単に 直接接続 (direct continuation) という。

D₁ ∩ D₂ は単連結とは限らず、複数の連結成分よりなっていることもあり、直接接続は連結成分 P₁ の選び方に依存する。

有理型関数 f₁(z) に対し、 f₁(z) の直接接続 f₂(z) を取り、 f₂(z) の直接接続 f₃(z) を取り、 … と順に直接接続を取ってできる有理型関数の列

f₁(z), f₂(z), f₃(z), …

のことを解析接続 (analytic continuation) といい、その集合

{f_n(z)|n∈N}

を 解析関数 (analytic function) という。一般に直接接続の選び方によってできあがる解析接続は異なる。