円分多項式 性質

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円分多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/22 03:02 UTC 版)

性質

実際に円分多項式を計算すると以下のようになる。

${\begin{aligned}\Phi _{1}&=x-1\\\Phi _{2}&=(x^{2}-1)/\Phi _{1}&&=x+1\\\Phi _{3}&=(x^{3}-1)/\Phi _{1}&&=x^{2}+x+1\\\Phi _{4}&=(x^{4}-1)/\Phi _{1}\Phi _{2}&&=x^{2}+1\\\Phi _{5}&=(x^{5}-1)/\Phi _{1}&&=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{6}&=(x^{6}-1)/\Phi _{1}\Phi _{2}\Phi _{3}&&=x^{2}-x+1\\\Phi _{7}&=(x^{7}-1)/\Phi _{1}&&=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{8}&=(x^{8}-1)/\Phi _{1}\Phi _{2}\Phi _{4}&&=x^{4}+1\\\Phi _{9}&=(x^{9}-1)/\Phi _{1}\Phi _{3}&&=x^{6}+x^{3}+1\\\Phi _{10}&=(x^{10}-1)/\Phi _{1}\Phi _{2}\Phi _{5}&&=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{11}&=(x^{11}-1)/\Phi _{1}&&=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{12}&=(x^{12}-1)/\Phi _{1}\Phi _{2}\Phi _{3}\Phi _{4}\Phi _{6}&&=x^{4}-x^{2}+1\\\end{aligned}}$

円分多項式の次数はその性質上オイラーの φ 関数を用いれば φ(n) に等しい。また、上記の例では係数が 1, −1, 0 しか現れないが、必ずそうなるわけではない。実際 Φ₁₀₅(x) がそうでない最小の例で係数に −2 が現れる。

${\begin{aligned}\Phi _{105}(x)&=x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}\\&\qquad \quad -x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1\end{aligned}}$

円分多項式の係数の大きさについて知られている最良の結果は次のものである。

$\Phi _{n}(x)=\textstyle \sum \limits _{m=0}^{\varphi (n)}a_{nm}x^{m}$

とおく。このとき、定数 c₂ > c₁ > 0 が存在して、十分大きい m に対して、

$c_{1}m^{1/2}(\log m)^{-1/4}<\log \max _{n}\vert a_{nm}\vert <c_{2}m^{1/2}(\log m)^{-1/4}$

を満たす。また $\max _{m}\vert a_{nm}\vert >\exp {\frac {\log 2\log n}{\log \log n}}$ となる n が無数に存在する。

n が素数のときは係数が全て 1 の n − 1 次の多項式となる。

すべての整数は円分多項式の係数として現れる。さらに強く、どのような等差数列 $(sn+t)_{n\geq 1}(s>t\geq 0)$ をとっても、すべての整数はある $\Phi _{sn+t}$ の係数として現れる。

任意の円分多項式の全ての根は、いくつかの有理数から出発して四則と冪根を繰り返すことにより表せることが知られている。実際、Φ_n(x) のガロア群は Z/nZ の乗法群である。特に n がフェルマー素数のときは、冪根として平方根を用いるだけで表すことが可能であるため、長さ 1 の線分が与えられれば、定規とコンパスを使用して半径 1 の円弧を n 等分する線分が作図可能である。

x が異なる円分多項式の差として表される多項式の根ならば 1/2 < x < 2 となる。このことから多項式 F, G の間に $F\preceq G$ を x > 2 となるすべての x について $F(x)\leq G(x)$ となることと定義すると $\preceq$ は円分多項式の間の全順序を定めることが分かる。