円分多項式 円分多項式の値

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円分多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/22 03:02 UTC 版)

円分多項式の値

a を整数とし、g を a の p を法とする位数とするとき、p が Φ_n(a) の素因数であることは n = gp^e (e ≥ 0) と書けることと同値である。よって、Φ_n(a) の素因数は n の約数であるか、または n を法として 1 と合同である。このことから、任意の整数 n に対して、n を法として 1 と合同である素数が無限に多く存在することが導かれる。これはディリクレの算術級数定理の特別な場合である。

Φ_n(a) は少数の例外を除いて必ず n を法として 1 と合同である素因数を持つ。実際、

$\Phi _{n}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{m=0}^{\varphi (n)}a_{nm}x^{m}y^{\varphi (n)-m}$

とおくと、次のことが知られている。

• a, b を p と互いに素な整数とし、g を p が a^g − b^g を割り切る最小の g とするとき、p が Φ_n(a, b) の素因数であることは n = gp^e (e ≥ 0) と書けることと同値である。
• a > b を p と互いに素な正の整数とする。Φ_n(a, b) は Φ₆(2, 1) = 3, Φ₁(a, a − 1) = 1, Φ₂(a, b) = a + b（最後の場合において、a, b は奇数で a + b は2の冪）となる場合を除いて、必ず n を法として 1 と合同である素因数を持つ。

  なお、この場合には、そのような素因数を p とし、n = gp^e (e ≥ 0) とおくと、p > n より e = 0, すなわち g = n でなければならない。すなわち、n は p が aⁿ − bⁿ を割り切る最小の n である。この結果はさらに一般化される（リュカ数列を参照）。