円分多項式 概要

ウィキペディア

円分多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/22 03:02 UTC 版)

概要

一般に n 次方程式は代数的閉体において、重根を含め n 個の根を持つ。特に、複素数体は代数的閉体であるから、方程式 xⁿ − 1 = 0 は複素数の範囲で n 個の根を持つ。

実際 e^2πik/n は k を 1 から n まで変化させると方程式 xⁿ − 1 = 0 の n 個の異なる根をすべて与える。複素平面上にあるこれらの根は単位円の弧を n 等分する。これが円分多項式と呼ばれる所以である。

例えば、x⁴ − 1 = 0 は i, −1, −i, 1 の4つの根を持ち、k = 1, 2, 3, 4 に対応する。1 と −1 は2乗すると 1 になるので、x² − 1 = 0 の根でもある。一方、i, −i は4乗しなければ 1 とならない。この2つを根に持つ方程式が Φ₄(x) = x² + 1 である。このように n 乗して初めて 1 となる複素数（1 の原始 n 乗根）全てを根に持ち、最高次数の項の係数が 1 である多項式が円分多項式 Φ_n(x) である。

n 乗して初めて 1 になる条件は k と n が互いに素なことであるため、冒頭の定義が与えられる。定義からすぐに得られる帰納的関係式

$\Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod \limits _{d\mid n \atop d\neq n}\Phi _{d}(x)}}$

またはメビウスの反転公式により得られる

$\Phi _{n}(x)=\textstyle \prod \limits _{d\mid n}(x^{\frac {n}{d}}-1)^{\mu (d)}$

が計算上は有用である。