ルジャンドル多項式 ずらしルジャンドル多項式

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ルジャンドル多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/07 03:16 UTC 版)

ずらしルジャンドル多項式

ずらしルジャンドル多項式 (shifted Legendre polynomial) は

${\tilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)$

で定義される。ここで、ずらし写像（実はアフィン変換）x ↦ 2x − 1 は、区間 [0, 1] を区間 [−1, 1] へ写す全単射として選ばれたもので、それゆえ多項式系 ~P_n(x) の区間 [0, 1] 上での直交性

$\int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,\mathrm {d} x={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}$

が従う。ずらしルジャンドル多項式の明示式は

${\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}$

で与えられる。ロドリゲスの公式のずらしルジャンドル多項式版は

${\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right]$

となる。ずらしルジャンドル多項式の最初の方のいくつかは以下のようになる。

n	${\tilde {P_{n}}}(x)$
0	1
1	$2x-1$
2	$6x^{2}-6x+1$
3	$20x^{3}-30x^{2}+12x-1$