ルジャンドル多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/11/07 03:16 UTC 版)
その他の性質
ルジャンドル多項式は対称または反対称、即ち
を満たす[6]。
微分方程式と直交性はスケール変換に依らない性質だから、ルジャンドル多項式はその定義において適当に定数倍して
を満たすように「標準化」される(「正規化」とも言うが、実際にノルムが 1 というわけではないので紛らわしい)。端点における微分係数は
で与えられる。既に述べたとおり、ルジャンドル多項式はボネの漸化式と呼ばれる三項間漸化式
と、公式
に従うが、これらから得られる等式
ルジャンドル多項式の積分に有効である。これを繰り返し用いて
あるいは同じことだが、
が得られる。ただし、ǁPn(x)ǁ は閉区間 [−1, 1] 上のノルム
である。ボネの漸化式から帰納的に陽な表現
が得られる。ルジャンドル多項式に対するアスキー-ギャスパーの不等式は
を導く。
- ^ 永宮健夫 『応用微分方程式論』、共立出版社、1967年、pp46-52。
- ^ Courant & Hilbert 1953, II, §8
- ^ George B. Arfken, Hans J. Weber (2005), Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press, p. 743, ISBN 0-12-059876-0
- ^ M. Le Gendre, “Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes”, Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées, Tome X, pp. 411-435 (Paris, 1785). [注: ルジャンドルは彼の発見を1782年に科学アカデミーに提出したが、出版されたのは1785年であった。]
- ^ Jackson, J.D. Classical Electrodynamics, 3rd edition, Wiley & Sons, 1999. page 103
- ^ George B. Arfken, Hans J. Weber (2005), Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press, p. 753, ISBN 0-12-059876-0
- ^ 日本測地学会 2004
ルジャンドル多項式と同じ種類の言葉
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