ルジャンドル多項式

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/07 03:16 UTC 版)

物理学における応用

ルジャンドル多項式は初め、1782年にアドリアン＝マリ・ルジャンドル^[4]により、ニュートン・ポテンシャル（英語版）

{\frac {1}{\left|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma )

ルジャンドル多項式は、多重極展開で自然に現れる

{\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x)

なる形の関数（記号を少し変えてあるが、上で述べたものと同じ）の展開においても有用である。等式の左辺はルジャンドル多項式の母関数の閉じた形である。

例として、（球座標系での）電位 $Φ(r, θ)$ が $z$ -軸上の点 $z = a$ にある点電荷によるものとすれば、

\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}

と書くことができる。観測点 $P$ の半径 $r$ が $a$ より大きければ、電位はルジャンドル多項式を用いて

\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )

と展開することができる。ここでは $η = a / r < 1$ および $x = cos θ$ と置いた。この展開は通常の多重極展開を行うのに用いられる。

逆に、観測点 $P$ の半径 $r$ が $a$ より小さいならば、電位を上記のようにルジャンドル多項式展開することはできるが、 $a$ と $r$ とは入れ替わる。この展開は内部多重極展開 (interior multipole expansion) の基本となる。

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