カルタン幾何学 定義と基本概念

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カルタン幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/31 00:51 UTC 版)

定義と基本概念

定義

リー群Gとその閉部分リー群の組$(G,H)$で$G/H$が連結になるものをクライン幾何学、もしくは（カルタン幾何学のモデルになるので）モデル幾何学（英: model geometry）という。

$(G,H)$をモデル幾何学とし、${\mathfrak {g}}$、${\mathfrak {h}}$をそれぞれG、Hのリー代数とする。

定義 (クライン幾何学によるカルタン幾何学の定義) ―  多様体M上のタイプ$(G,H)$のカルタン幾何学（英: Cartan geomerty of type $(G,H)$ over M）とは、M上のH-主バンドル$\pi ~:~P\to M$とP上の${\mathfrak {g}}$-値1-形式

$\omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}$

の組$(\pi ,P,\omega )$で以下の性質を満たすものの事である：

1. 任意の$p\in P$に対し、$\omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}$は同型写像である。
2. 任意の$A\in {\mathfrak {h}}$に対し、$\omega ({\underline {A}})=A$
3. 任意の$h\in H$に対し、$R_{h}{}^{*}\omega =\mathrm {Ad} (h^{-1})\omega$

ωをH-主バンドル$\pi ~:~P\to M$のカルタン接続（英: Cartan connection）という。また紛れがなければMの事をカルタン幾何学という。

3つの条件の直観的な意味を説明する。

• 1つ目の条件は、$T_{p}P$と${\mathfrak {g}}$が同一視できる事を意味しており、前述した直観的説明のように、モデルがユークリッド幾何学であれば、Mにいる人は、自分の近傍がユークリッド空間であるとみなしているので、人の動きの速度ベクトルの集合$T_{p}P$が、無限小変換全体${\mathfrak {g}}={\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})$で記述可能である事を要請するのは自然である。
• ２つ目の条件は、各$u\in M$に対し、ωが同型写像$A\in {\mathfrak {h}}\mapsto {\underline {A}}\in T_{p}P_{p}$の逆写像である事を要請している。${\underline {A}}$は$A\in {\mathfrak {h}}$が$P_{p}$に定める無限小変換なので、前述した直観的説明からこれは自然な要請である。なお、この２つ目の条件から特に直観的説明のところで登場した以下の要件が従う：

  $\omega (TP_{u})\in {\mathfrak {h}}$

• ３つ目の条件は、前述した直観的説明から$u\in M$にいる人は自分の近傍がモデル幾何学$(G,H)$に似ているとみなしているので、$h\in H$を右から乗じれば、${\mathfrak {g}}=T_{e}G$の元は$T_{h}G$に移動してしまうので、左からも$h^{-1}$を乗じて${\mathfrak {g}}=T_{e}G$に戻す随伴表現$\mathrm {Ad} (h^{-1})$を作用させたものと等しくなる事を要請する。

なお、$\omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}$は同型なので、M上定義できるカルタン幾何学には

$\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\dim M$

という制約が課せられる事になる。

主接続との関係

カルタン接続の定義は主バンドルの接続（主接続）の接続形式の定義とよく似ているが、両者は似て非なる概念であり、H-主バンドルの主接続の接続形式はHのリー代数${\mathfrak {h}}$に値を取るが、カルタン接続はGのリー代数${\mathfrak {g}}$に値を取っている。しかし、$(\pi ,P,\omega )$を$(G,H)$をモデル幾何学とする多様体M上のカルタン幾何学とするとき、H-主バンドル$\pi ~:~P\to M$上定義されたカルタン接続$\omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}$は、自然に

$Q:=P\times _{H}G\to M$

というG-主バンドル上の${\mathfrak {g}}$-値1-形式

${\bar {\omega }}~:~TQ\to {\mathfrak {g}}$

に拡張する事ができ、${\bar {\omega }}$はG-主バンドル$Q\to M$の接続形式である。逆に$Q\to M$を任意のG-主バンドルとし、${\bar {\omega }}$をQ上定義された接続形式とするとき、$Q\to M$のH-部分バンドル$\varphi ~:~P\to Q$で$\varphi _{*}(TP)\cap \ker \omega =\{0\}$であり、しかも$\dim G=\dim P$であればωのTPへの制限はP上のカルタン接続になる。

なお、モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、上記のものとは別の形の関係性をカルタン接続と主接続は満たす。詳細は後述する。

無限小クライン幾何学による定式化

定義から分かるように、カルタン幾何学の定義は${\mathfrak {g}}$、${\mathfrak {h}}$、およびHには依存しているが、Gには直接依存していない。これは${\mathfrak {g}}$、${\mathfrak {h}}$、およびHはM上のカルタン幾何学の局所的な構造を定めるのに対し、Gはクライン幾何学$(G,H)$の大域的な構造を定めるものであるため、Gが不要である事による。

リー代数${\mathfrak {g}}$に対応するリー群Gは一意ではなく、これが原因で大域的な構造を定めるGはカルタン幾何学の定義に必須でないばかりか、一部の定理ではGを（${\mathfrak {g}}$に対応する）別のリー群に取り替える必要が生じてしまう。

そこでGに直接言及せず、$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$を使ったカルタン幾何学の定式化も導入する。そのために以下の定義をする：

定義 ― リー代数${\mathfrak {g}}$とその部分リー代数${\mathfrak {h}}$の組$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$を無限小クライン幾何学（英: infinitesimal Klein geometry）もしくはクライン対（英: Klein pair）という。

Hを${\mathfrak {h}}$をリー代数 とするリー群とし、さらに

$\mathrm {Ad} ~:~H\to \mathrm {GL} _{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})$

をHの線形表現で、任意の$h\in H$に対し、$\mathrm {Ad} (h)$の${\mathfrak {h}}$への制限$\mathrm {Ad} (h)|_{\mathfrak {h}}$がHの${\mathfrak {h}}$への随伴表現$\mathrm {Ad} _{\mathfrak {h}}$と等しいものとする。ここで$\mathrm {GL} _{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})$は${\mathfrak {g}}$上のリー代数としての自己同型全体の集合である。

このとき、組$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$をモデル幾何学という。

以下、特に断りがなければ、$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$が効果的である事を仮定する。ここで$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$が効果的であるとは、${\mathfrak {h}}$に含まれる${\mathfrak {g}}$のイデアルが$\{0\}$のみである事を意味する。G、Hを${\mathfrak {g}}$、${\mathfrak {h}}$に対応するリー群とすると、$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$が効果的である事は、$X=G/H$、$K:=\{g\in G\mid \forall x\in X~:~gx=x\}$とするとき、Kが離散群になる事と同値である。

定義 (無限小クライン幾何学によるカルタン幾何学の定義) ―  Mを多様体とし、$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$をモデル幾何学とし、

• $\pi ~:~P\to M$をH-主バンドルとし、
• ωをクライン幾何学によるカルタン幾何学の定義の条件を満たすP上の${\mathfrak {g}}$-値1-形式とする。

このとき、組$(\pi ,P,\omega )$をHを伴う$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$をモデルとするM上のカルタン幾何学（英: Cartan geometry on M modeled on $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ with H）という。

カルタン幾何学としてのクライン幾何学

本節ではカルタン幾何学の最も簡単な例として、クライン幾何学のカルタン幾何学としての構造を調べる。$(G,H)$をクライン幾何学とし、$M=G/H$とし、$u_{0}=[e]$とする。ここで$[e]$はGの単位元eの同値類である。このとき

$\pi ~:~g\in G\mapsto gu_{0}\in M$

は自然にH-主バンドルとみなせる。G上のモーレー・カルタン形式$\omega ^{G}$がカルタン接続の定義を満たす事を示せるので、$(\pi ,G,\mu )$は$(G,H)$をモデルとするカルタン幾何学になる。

局所クライン幾何学とその上のカルタン幾何学

リー群Gとその閉部分リー群の組$(G,H)$を考える。Gの離散部分群$\Gamma$で、$G/H$へのGからの作用$G\curvearrowright G/H$の$\Gamma$への制限$\Gamma \curvearrowright G/H$が効果的なものを考える（$\Gamma \curvearrowright G/H$が効果的な事は$\Gamma \cap H=\{e\}$である事と同値である）。このとき、$\Gamma \curvearrowright G/H$による商集合$M=\Gamma \backslash G/H$を考える。Mが連結なとき、$(G,H,\Gamma )$を局所クライン幾何学（英: locally Klein geometry）という。

局所クライン幾何学M上に以下のようにカルタン幾何学を定義できる。まず$\Gamma \curvearrowright G/H$が効果的なので$P=\Gamma \backslash G$とすると、商写像

$\pi ~:~P=\Gamma \backslash G\to M=\Gamma \backslash G/H$

には自然にH-主バンドルの構造が入る。またG上のモーレー・カルタン形式$\omega ^{G}$はその定義より左不変なので、商写像$q~:~G\to \Gamma \backslash G$に対し

$\pi ^{*}(\omega ^{\Gamma \backslash G})=\omega ^{G}$

を満たす一意な${\mathfrak {g}}$-値1-形式を$\omega ^{\Gamma \backslash G}$とする事で、$P=\Gamma \backslash G$にカルタン接続$\omega ^{\Gamma \backslash G}$がwell-definedされ、$M=\Gamma \backslash G/H$上に$(G,H)$をモデルとするカルタン幾何学$(\pi ,P,\omega ^{\Gamma \backslash G})$が定義できる。

カルタン幾何学の（局所）幾何学的同型

２つのカルタン幾何学の間の（局所的および大域的な）同型概念を以下のように定義する：

定義 ― $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$をモデル幾何学とし、M₁、M₂を多様体とし、$(\pi _{1},P_{1},\omega _{1})$、$(\pi _{2},P_{2},\omega _{2})$をそれぞれ$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$をモデル幾何学とするM₁、M₂上のカルタン幾何学とする。

バンドル写像

$(f,{\tilde {f}})~:~(M_{1},P_{1})\to (M_{2},P_{2})$

で$f~:~M_{1}\to M_{2}$がはめ込みであり、${\tilde {f}}~:~{\tilde {M}}_{1}\to {\tilde {M}}_{2}$による$\omega _{2}$の引き戻しが

$f^{*}(\omega _{2})=\omega _{1}$

となるものをカルタン幾何学間の局所幾何学的同型（英: local geometric isomorphism）という。とくにfが（可微分）同相写像であれば、$(f,{\tilde {f}})$を幾何学的同型（英: geometric isomorphism）という。

定数ベクトル場と普遍共変微分

任意の$p\in P$に対して$\omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}$は同型写像であるので、TPはωにより

$TP\approx P\times {\mathfrak {g}}$

という同一視ができ、TPはベクトルバンドルとして自明である。

よって特に$A\in {\mathfrak {g}}$を各$p\in P$に対してωの逆写像でT_pPに移すことで、TP上のベクトル場を作る事ができる。

定義 (定数ベクトル場) ― $A\in {\mathfrak {g}}$に対し、$\omega ^{-1}(A)$を各点$p\in P$に$\omega ^{-1}{}_{p}(A)\in T_{p}P$を対応させるベクトル場とする。

このベクトル場を定数ベクトル場（英: constant vector field）という。

定数ベクトル場を用いると、以下の「普遍共変微分」を定義できる：

定義 (普遍共変微分) ―  Vをベクトル空間とし、$f~:~P\to V$を（滑らかな）写像とする。このとき、fにベクトル場$\omega ^{-1}(A)$（は接ベクトル空間の元なので自然に微分作用素とみなしたもの）を作用させた

$D_{A}f:=\omega ^{-1}(A)f$

をfのAによる普遍共変微分（英: universal covariant derivative）という。

モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、普遍共変微分は通常の共変微分を導く。これについては後述。

接バンドル

本節ではカルタン幾何学が定義された多様体の接バンドルの構造を調べる。そのために以下の定義をする。

$(\pi ,P,\omega )$を$({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$をモデル幾何学とするM上のカルタン幾何学とする。$\mathrm {Ad}$はHの${\mathfrak {g}}$への作用を定義するが、$\mathrm {Ad}$の${\mathfrak {h}}$への制限は${\mathfrak {h}}$上の随伴表現である（ので$\mathrm {Ad}$は${\mathfrak {h}}$を保つ）ことから、$\mathrm {Ad}$はHの${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$への作用を誘導する。またHはH-主バンドルPに作用していたので、これの作用により、ベクトルバンドル

$P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$

を定義できる。実はこのベクトルバンドルは接バンドルと同型である：

定理 (接バンドルと無限小クライン幾何学の関係) ― ベクトルバンドルとしての同型

$P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx TM$

が成立する。

具体的には写像

$[(p,[A])]\in P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\mapsto \pi _{*}(\omega _{p}{}^{-1}(A))\in TM$

はwell-definedであり、ベクトルバンドルとしての同型写像である。ここで$\omega _{p}{}^{-1}(A)$は同型写像$\omega _{p}~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}$の逆写像$\omega _{p}{}^{-1}$で$A\in {\mathfrak {g}}$を$T_{p}P$に移したものである。

曲率

定義

クライン幾何学をカルタン幾何学とみなした場合、カルタン接続はモーレー・カルタン形式ω^Gと等しいので、カルタン接続は構造方程式

$d\omega ^{G}+{1 \over 2}[\omega ^{G},\omega ^{G}]=0$

を満たすが、一般のカルタン幾何学は構造方程式を満たすとは限らない。そこで以下の量を考える：

定義 (曲率) ―  カルタン接続ωを持つ多様体M上のカルタン幾何学$(\pi ,P,\omega )$に対し、P上の${\mathfrak {g}}$-値2-形式

$\Omega :=d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]$

をカルタン幾何学$(\pi ,P,\omega )$の曲率（英: curvature）という。

Ωは（局所）クライン幾何学からのズレを表す量であると解釈でき、明らかにクライン幾何学や局所クライン幾何学の曲率は恒等的に0である。

曲率は以下を満たす：

定理 (カルタン接続のビアンキ恒等式) ― カルタン接続ωとその曲率Ωは下記の恒等式（ビアンキ恒等式、英: Bianchi identity）を満たす：

$d\Omega =[\Omega ,\omega ]$

点$u\in M$のファイバーP_uにはHが単純推移的に作用するので、$p\in P_{u}$をfixして、$h\in H\mapsto ph\in P_{u}$によりHとP_uを同一視すると、TP_u上にモーレー・カルタン形式ω^Hが定義できる。しかもω^Hは$p\in P_{u}$の取り方に依存しないことも容易に証明できる。実は曲率のP_uへの制限はω^Hに一致する。

定理 ― 任意の$u\in M$に対し、曲率ΩのTP_uへの制限はTP_u上のω^Hに一致する。よって特に、任意の$v,w\in T_{p}P_{u}$に対し、$\Omega _{p}(v,w)=0$である。

なお、実はv、wの少なくとも一方がT_pP_uに属していれば、$\Omega _{p}(v,w)=0$である事が知られている。よって特に次が成立する：

定理 ― M上の${\mathfrak {g}}$-値2-形式Ω'が存在し、任意の$p\in P$と任意の$v,w\in T_{p}P_{u}$に対し、以下が成立する：

$\Omega _{p}(v,w)=\Omega '(\pi _{*}(v),\pi _{*}(w))$

このΩ'は次節で導入する曲率関数を用いる事で具体的に記述できる。

曲率関数

$\omega _{p}T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}$が同型写像であったことから、写像の合成

$\wedge ^{2}{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\wedge ^{2}T_{p}P{\overset {\Omega }{\to }}{\mathfrak {g}}$

を定義できる。またすでに述べたようにv、wの少なくとも一方がT_pP_uに属していれば、$\Omega _{p}(v,w)=0$である事が知られている事から、この写像は$\wedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$上の写像をwell-definedに誘導する。

定義 ―  $\wedge ^{2}{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\wedge ^{2}T_{p}P{\overset {\Omega }{\to }}{\mathfrak {g}}$が$\wedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$上に誘導する写像

$K_{p}~:~\wedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}$

をカルタン幾何学$(\pi ,P,\omega )$の曲率関数（英: curvature function）という。

曲率$\Omega ~:~\wedge ^{2}T_{p}P\approx \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$がM上の${\mathfrak {g}}$-値2-形式Ω'を誘導する事を前に見た。このΩ'は曲率関数を使って以下のように書き表す事ができる。

${\begin{array}{cccccc}\Omega ~:~&\bigwedge ^{2}T_{p}P&\approx &\bigwedge ^{2}{\mathfrak {g}}&\to &{\mathfrak {g}}\\&\pi _{*}\downarrow &\circlearrowright &\downarrow &\circlearrowright &||\\\Omega '~:~&\bigwedge ^{2}T_{\pi (p)}M&\approx &\bigwedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}&{\overset {K_{p}}{\to }}&{\mathfrak {g}}\end{array}}$

捩率

さらに以下の定義をする：

定義 (捩率) ―  曲率Ωを商写像

$\rho ~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$

と合成した$\rho (\Omega )$はP上の${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$-値2-形式となる。$\tau :=\rho (\Omega )$をカルタン幾何学$(\pi ,P,\omega )$の捩率（英: torsion）といい、$\tau$がP上恒等的に0になるカルタン幾何学$(\pi ,P,\omega )$を捩れなし（英: torsion free）であるという。

モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、この捩率はアフィン接続の捩率テンソルに一致する。詳細は後述。

標準形式

本節の目標は、商写像

$\rho ~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$

とカルタン接続の合成$\rho \circ \omega$の幾何学的意味を説明する事である。

まず、$\rho \circ \omega$は以下のように特徴づける事ができる：

定理 ($\rho \circ \omega$の特徴づけ) ― $\rho \circ \omega$は下記を可換にする唯一の写像である：

${\begin{array}{ccc}T_{p}P&{\overset {\omega }{\overset {\sim }{\to }}}&{\mathfrak {g}}\\\pi _{*}\downarrow &&\rho \downarrow \\T_{\pi (p)}M&{\overset {\varphi _{p}{}^{-1}}{\overset {\sim }{\to }}}&{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\end{array}}$

ここで$\varphi _{p}$は$[A]\in {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$に$[(p,[A])]\in P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx T_{\pi (p)}M$を対応させる写像である。

上記の特徴付けから、$\rho \circ \omega$の幾何学的意味は同型$P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}{\overset {\sim }{\to }}TM$に関係しているので、この同型の幾何学的意味を見る。${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$にベクトル空間としての基底$e_{1},\ldots ,e_{m}$をfixし、同型

$P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}{\overset {\sim }{\to }}TM$

による$[p,e_{i}]$の像を$e_{i}^{p}$とすると、$e^{p}:=(e_{1}^{p},\ldots ,e_{m}^{p})$は$T_{\pi (p)}M$の基底をなす。

よって特に、$F:=\{e^{p}\mid p\in P\}$とすると、FはM上のフレームバンドル（＝各点のファイバーがTMの基底からなるバンドル）になる。

一般には対応

$p\in P\mapsto e^{p}\in F$

は全単射ではないが、$P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$の定義から、カルタン幾何学が下記の意味で「一階」であれば、この写像は全単射になる：

定義 ―  随伴表現

$\mathrm {Ad} ~:~H\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})$

が忠実なとき、クライン幾何学$(G,H)$（および$(G,H)$をモデルに持つカルタン幾何学）は一階（英: first order）であるといい、そうでないとき高階（英: higher order）であるという。

以上の準備のもと、$\rho \circ \omega$を幾何学的に意味付ける：

定理 ($\rho \circ \omega$の解釈) ― 記号を上と同様に取り、カルタン幾何学$(\pi ,P,\omega )$が一階であるとする。このとき、${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$の基底$e_{1},\ldots ,e_{m}$で${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx \mathbb {R} ^{m}$という同一視を行うと、$v\in T_{p}P\approx T_{e^{p}}F$に対し、

$\rho \circ \omega (v)\in {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx \mathbb {R} ^{m}$

は基底$e^{p}=(e_{1}^{p},\ldots ,e_{m}^{p})$で$\pi (v)$を成分表示したときの係数${}^{t}(v^{1},\ldots ,v^{m})\in \mathbb {R} ^{m}$を対応させる$\mathbb {R} ^{m}$値1-形式であるとみなせる。

証明

上述の定理より写像

$T_{p}P{\overset {\pi _{*}}{\to }}T_{\pi (p)}M\approx T_{p}P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$

は$\rho \circ \omega$に等しいので、$v\in T_{p}P$に対し、$\pi _{*}(v)$を

$\pi _{*}(v)=\sum _{i}v^{i}e_{i}^{p}$

と成分表示すると、

$\rho \circ \omega (v)=\sum _{i}v^{i}e_{i}$

が成立する。よって基底$e_{1},\ldots ,e_{m}\in {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$により${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx \mathbb {R} ^{m}$という同一視を行うと、

$\rho \circ \omega (v)={}^{t}(v^{1},\ldots ,v^{m})\in \mathbb {R} ^{m}$

が成立する。

上記のような、$v\in T_{e}F$に$\pi _{*}(v)=v^{i}e_{i}$となる${}^{t}(v^{1},\ldots ,v^{m})$を対応させる$\mathbb {R} ^{m}$-値1-形式をフレームバンドル上の標準形式（英: canonical form）という。上述の定理はカルタン幾何学が一階であれば$\rho \circ \omega$は標準形式として意味づけられる事を保証する。