カルタン幾何学

ウィキペディア

索引トップランキングカテゴリー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/31 00:51 UTC 版)

簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学

「接続 (微分幾何学)#主接続の節」および「接続 (ファイバー束)#主接続の節」も参照

本節ではモデル幾何学 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$ が「簡約可能」という性質を満たす場合にが対するカルタン幾何学の性質を見る。具体的にはモデル幾何学がユークリッド幾何学やアフィン幾何学の場合には簡約可能になる。

定義

まず簡約可能性を定義する：

定義 ― モデル幾何学 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$ が簡約可能^{[訳語疑問点]}（英: reductive）であるとは、作用 $H{\overset {\mathrm {Ad} }{\curvearrowright }}{\mathfrak {g}}$ により不変な部分ベクトル空間 ${\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}$ が存在し、 ${\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {b}}=\{0\}$ 、 ${\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}$ を満たす事を言う^[32]^[33]^[34]^{[注 12]}。

なお、 ${\mathfrak {b}}$ の取り方は一意とは限らないので注意されたい。

$G$ が2つのリー群の半直積 $G=H\ltimes B$ で書けている場合は、 $G$ 、 $H$ に対応するモデル幾何学 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$ は、 $B$ のリー代数を ${\mathfrak {b}}$ として選ぶ事で簡約可能である^[35]。

よって特にユークリッド幾何学の等長変換群 $\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})$ は直交群 $O(m)$ と平行移動のなす群の半直積で書けるので対応するモデル幾何学は簡約可能である。アフィン幾何学も同様である。

カルタン接続の分解

$(\pi ,P,\omega )$ を $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$ をモデル幾何学にする多様体 $M$ 上のカルタン幾何学とする。モデル幾何学 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$ が、 ${\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}$ と簡約可能なとき、 ${\mathfrak {g}}$ の元は ${\mathfrak {h}}$ の元と ${\mathfrak {b}}$ の元の和で一意に表現できるので、カルタン接続 $\omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}$ も

\omega =\omega _{\mathfrak {h}}+\omega _{\mathfrak {b}}

のように「 ${\mathfrak {h}}$ 部分」と「 ${\mathfrak {b}}$ 部分」の和で書ける。この分解を用いると、カルタン接続と主接続の接続形式との関係性を以下のように記述できる：

定理 (簡約可能な場合のカルタン接続と接続形式の関係) ― $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$ を ${\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}$ と簡約可能なモデル幾何学とし、 $M$ を多様体とし、 $\pi ~:~P\to M$ を $H$ -主バンドルとする。

このとき $P$ 上のカルタン接続 $ω$ を $\omega =\omega _{\mathfrak {h}}+\omega _{\mathfrak {b}}$ と分解すると、 $\omega _{\mathfrak {h}}$ は $P$ 上の主接続の接続形式の定義を満たす^[36]。

したがって、簡約可能なモデル幾何学の場合にはカルタン接続から主接続の接続形式 ${\mathfrak {h}}$ が得られることになる。

一方、 $\omega _{\mathfrak {b}}$ は

{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}{\overset {\rho }{\to }}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}

により ${\mathfrak {b}}$ を ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ と同一視すると、 $\omega _{\mathfrak {b}}$ は $\rho \circ \omega$ と同一視でき、前述のように（カルタン幾何学が一階であれば） $\rho \circ \omega$ は標準形式であるとみなせる。

したがって分解 $\omega =\omega _{\mathrm {h} }+\omega _{\mathrm {b} }$ はカルタン接続 $\omega$ を接続形式 ${\mathfrak {h}}$ と標準形式 ${\mathfrak {b}}$ に分解するものであるが、実は逆に接続形式と標準形式からカルタン接続を復元できる：

定理 (一階で簡約可能な場合における接続形式からカルタン接続の再現) ― $(G,H)$ を一階のクライン幾何学で対応するリー代数の組 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ が ${\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}$ と簡約可能なものとする。 $M$ を多様体とし、 $\pi ~:~P\to M$ を $TM$ の主バンドルとし、 $P$ を $H$ -フレームバンドル $F$ と前述の方法で同一視する。さらに $γ$ を $P = F$ 上の接続形式とし、 $θ$ を $F$ の標準形式とする。

このとき、

\omega _{p}~:~v\in T_{p}P\mapsto \gamma (v_{p})+\theta (v_{p})\in {\mathfrak {h}}\oplus ({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})\approx {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}

は $P = F$ 上のカルタン接続の公理を満たす^[36]^{[注 13]}。

前述した、カルタン接続から接続形式と標準形式とに分解する定理とは丁度「逆写像」の関係にあり、簡約可能で一階の場合はカルタン接続は接続形式と標準形式との組と1対1に対応する^[36]。

Koszul接続

モデル幾何学が簡約可能である場合、上述したようにカルタン接続 $ω$ から定義される $\omega _{\mathfrak {h}}$ は $H$ -主バンドル $P$ の接続形式になる。ベクトル空間 $V$ 上の $H$ の線形表現 $\gamma ~:~H\to \mathrm {GL} (V)$ があれば、ベクトルバンドルとしての接続（Koszul接続）の一般論から、接続形式 $\omega _{\mathfrak {h}}$ は $M$ 上のベクトルバンドル $E:=P\times _{H,\gamma }V$ にKoszul接続を定める^[37]。

よって特に、接バンドルは

TM\approx P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}

と書けたので、 $\omega _{\mathfrak {h}}$ は $TM$ 上のKoszul接続、すなわちアフィン接続 $\nabla$ を定める。

このことから分かるようにモデル幾何学がアフィン幾何学でなくても、簡約可能でありさえすればアフィン接続を誘導する。

しかし特にモデル幾何学がアフィン幾何学であれば、アフィン変換群 $G$ の ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ 上の随伴表現は ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ 上のアフィン変換になる事を示す事ができ、この意味において $TM\approx P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ はアフィン空間 ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ のバンドルとなる。後述するように、この事実が例えばモデルがユークリッド幾何学の場合には重要になる。

普遍共変微分との関係

$\gamma ~:~H\to \mathrm {GL} (V)$ をベクトル空間 $V$ 上の $H$ の線形表現とし、 $\omega _{\mathfrak {h}}$ が $M$ 上のベクトルバンドル $E:=P\times _{H,\gamma }V$ に定めるKoszul接続を $\nabla$ とする。

$E$ の切断 $s$ と $p\in P$ に対し、 $s_{\pi (p)}=[p,f_{s}(p)]\in P\times _{H,\gamma }V=E$ となる $f_{s}(p)$ が一意に存在し、 $f s$ は $P$ から $V$ への関数 $f_{s}~:~P\to V$ とみなせる。

定理 ― $M$ 上の任意のベクトル場 $X$ と $E$ の任意の切断 $s$ に対し、以下が成立する：

f_{\nabla {}_{X}s}=D_{\omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})}f_{s}

ここで ${\tilde {X}}$ は $\pi _{*}({\tilde {X}})=X$ となる $P$ の接ベクトルである^[37]^{[注 14]} ^{[注 15]}。

上記のように $D_{\omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})}f_{s}$ はKoszul接続 $\nabla {}_{X}s$ と関係するが、それに対し $D_{\omega _{\mathfrak {h}}({\tilde {X}})}f_{s}$ の方は自明なものになってしまう：

定理 ― $M$ 上の任意のベクトル場 $X$ と $E$ の任意の切断 $s$ に対し、以下が成立する^[38]：

D_{\omega _{\mathfrak {h}}({\tilde {X}})}f_{s}=-\gamma _{*}(\omega _{\mathfrak {h}}({\tilde {X}}))f_{s}

ここで $γ *$ は $E$ を定義する線形表現 $\gamma ~:~H\to \mathrm {GL} (V)$ が誘導する写像 $\gamma _{*}~:~{\mathfrak {h}}\to \{V$ 上の線形写像 $\}$ である。

曲率の分解

本節ではモデル幾何学 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$ が ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {b}}$ と簡約可能でしかも

[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}

となっている場合、すなわち ${\mathfrak {b}}$ として ${\mathfrak {g}}$ の部分リー代数になっているものを取れる場合に対し、曲率の「 ${\mathfrak {h}}$ 部分」と「 ${\mathfrak {b}}$ 部分」を具体的に書き表す。

先に進む前にこの条件を満たすモデル幾何学の具体例を述べる。例えば ${\mathfrak {g}}$ に対応するリー群 $G$ が2つのリー群の半直積 $G=H\ltimes B$ で書けている場合に、 ${\mathfrak {b}}$ として $B$ のリー代数を取れば上述の条件を満たす。特に、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、アフィン変換群 $\mathrm {Aff} _{m}$ は線形変換 $\mathrm {GL} _{m}(\mathbb {R} )$ と平行移動のなす群 $B=\mathbb {R} ^{m}$ の半直積で書け、しかも ${\mathfrak {b}}$ を $B$ のリー代数とすると、

[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=\{0\}

というより強い条件が成立する。モデル幾何学がユークリッド幾何学の場合も同様である。

曲率 $Ω$ は ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {b}}$ に値を取るので、曲率を

\Omega =\Omega _{\mathfrak {h}}+\Omega _{\mathfrak {b}}

と「 ${\mathfrak {h}}$ 部分」 $\Omega _{\mathfrak {h}}$ と「 ${\mathfrak {b}}$ 部分」 $\Omega _{\mathfrak {b}}$ に分解する。商写像 ${\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}{\overset {\rho }{\to }}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ が同型になることから、 ${\mathfrak {b}}\approx {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ という同一視をすると、

\Omega _{\mathfrak {b}}\approx \rho (\Omega )=\tau

と $\Omega _{\mathfrak {b}}$ がカルタン幾何学の捩率 $\tau =\rho (\Omega )$ に対応する事が分かる。

とくにアフィン幾何学をモデルとするカルタン幾何学の場合、 ${\mathfrak {b}}$ はアフィン変換群 $\mathrm {Aff} _{m}=\mathrm {GL} _{m}(\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{m}$ の並進部分である $\mathbb {R} ^{m}$ に対応するリー代数であるので、アフィン幾何学をモデルとする場合、捩率とは並進に関する曲率であるとみなせる。

構造方程式

曲率の定義から、

\Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]

=d\omega _{\mathfrak {h}}+d\omega _{\mathfrak {b}}+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]+[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {b}},\omega _{\mathfrak {b}}]

が成立するので、仮定 $[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}$ を使うと以下が成立する事が分かる：

定理 (分解した場合の構造方程式) ―

$\Omega _{\mathfrak {h}}=d\omega _{\mathfrak {h}}+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]$
$\tau \approx \Omega _{\mathfrak {b}}=d\omega _{\mathfrak {b}}+[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {b}},\omega _{\mathfrak {b}}]$

$\omega _{\mathfrak {h}}$ が接続形式に対応している事から、上記の定理の１つ目の式は、接続形式 $\omega _{\mathfrak {h}}$ が定義する主接続に対する第二構造方程式である事がわかる。よって特に、 $\Omega _{\mathfrak {h}}$ は主接続の曲率形式である事がわかる。したがって

一方2本目の式において $\omega _{\mathfrak {b}}$ は $TP{\overset {\omega }{\to }}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx {\mathfrak {b}}$ に一致し、標準形式 $θ$ として解釈できるので、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合のように $[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=\{0\}$ であれば、2本目の式は

\tau \approx d\theta +[\omega _{\mathfrak {h}},\theta ]

となり、第一構造方程式に対応している事が分かる。よってこの場合の捩率は接続形式 $\omega _{\mathfrak {h}}$ が $TM$ によって定まる主接続の捩率テンソルに一致する。

ビアンキ恒等式

前述したカルタン接続のビアンキ恒等式

d\Omega =[\Omega ,\omega ]

を「 ${\mathfrak {h}}$ 部分」と「 ${\mathfrak {b}}$ 部分」に分解することで以下の定理が結論づけられる：

定理 (分解した場合のビアンキ恒等式) ―

$d\Omega _{\mathfrak {g}}=[\Omega _{\mathfrak {g}},\omega _{\mathfrak {g}}]$
$d\tau \approx d\Omega _{\mathfrak {b}}=[\tau ,\omega _{\mathfrak {h}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]$

$\omega _{\mathfrak {h}}$ が接続形式に対応している事から、上記の定理の1本目の式は接続形式 $\omega _{\mathfrak {h}}$ が定義する主接続に関する第二ビアンキ恒等式である。

一方、2本目の式は、構造方程式の場合と同様、モデル幾何学がアフィン幾何学のように $[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=\{0\}$ を満たせば、

d\tau \approx [\tau ,\omega _{\mathfrak {h}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\theta ]

と第一ビアンキ恒等式に一致する。

脚注

出典

^ #Sharpe p.61.
^ #Erickson 4.1節
^ #Tu p.247.
^ #Wendl3 p.89.
^ #Tu p.123.
^ ^a ^b #Tu p.198.
^ “中央大学大学院理工学研究科数学特別講義第三微分形式の可積分性”. p. 50. 2023年6月27日閲覧。
^ #小林 p.59.
^ #Erickson-2 p.3.
^ #Sharpe p.151.
^ #Erickson-2 p.7.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g #Sharpe p.184.
^ #Kobayashi p.127-128.
^ ^a ^b #Kobayashi p. 128.
^ #Sharpe p.365.
^ ^a ^b #Sharpe pp.156.
^ ^a ^b #Sharpe p.174.
^ #Sharpe p.157, 166.
^ #Sharpe p.154.
^ ^a ^b #Sharpe pp.154, 207, 213.
^ ^a ^b #Sharpe p.185.
^ #Alexandre p.65.
^ #Sharpe p.194.
^ ^a ^b #Sharpe p.188.
^ #Sharpe p.193.
^ ^a ^b ^c #Sharpe p.187
^ #Sharpe p.191.
^ #Sharpe p.191.
^ #Sharpe pp.164, 191.
^ #Sharpe p.191.
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.118.
^ ^a ^b ^c #Sharpe pp.151, 197.
^ #Erickson p.35.
^ #Alexandre p.39.
^ #Alexandre p.39.
^ ^a ^b ^c #Sharpe pp.362-364.
^ ^a ^b ^c #Sharpe p.199.
^ #Sharpe pp.196-197.なお、p.197の「 $ρ$ 」は $X$ が ${\mathfrak {h}}$ の元であることから「 $ρ *$ 」の誤記であると判断。
^ ^a ^b #Sharpe p.119.
^ #Sharpe pp.208.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m #Sharpe pp.209-211.
^ #Alexandre p.69.
^ #Sharpe-2 p.67.
^ #Alexandre p.68.
^ #Sharpe p.212.
^ #Sharpe p.111.
^ ^a ^b ^c ^d #Sharpe pp.203-205.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g #Sharpe p.207.
^ #Sharpe-2 p.66
^ #Sharpe p.213.
^ #Sharpe p.216.
^ ^a ^b #Sharpe p.238.
^ #Sharpe p.234.に捩率が0の場合とそうでない場合にわけて考える旨の記載がある。
^ ^a ^b ^c #Sharpe pp.386-387.

注釈

^ カルタン幾何学を説明した日本語の文献が見つからなかったので、本項の専門用語はいずれも本項執筆者が暫定的に訳したものである。
^ 厳密には、 $M$ 上の人と同一視できるのは、基底が右手系の場合だけで、左手系の場合はその人を"左右反転"する必要があるが、以後この問題は無視する
^ この定義では ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ という同一視を用いている。ここで $e$ は $G$ の単位元である。
^ ${\tilde {G}}$ を $G$ の被覆空間とすると、 ${\tilde {G}}$ と $G$ は同型なリー代数を持つ。
^ ^[17]では $Ad$ にこれ以上の仮定を課していないが、実際の議論では $Ad$ が ${\mathfrak {g}}$ に対応するリー群 $G$ の随伴表現 $\mathrm {Ad} _{\mathfrak {g}}$ の ${\mathfrak {h}}$ への制限である事を用いているので、以下、本項でもこれを仮定する。なお、随伴表現 $\mathrm {Ad} _{\mathfrak {g}}$ は ${\mathfrak {g}}$ に対応するリー群 $G$ の取り方に依存せずwell-definedである。
^ #Sharpe p.174によれば、この仮定は必須ではないが、この仮定を外しても特に得られるものはないとの事である。
^ クライン幾何学の定義では $G/H$ が連結な事を仮定していたが、ここでそれは仮定しない^[19]
^ $\Gamma \curvearrowright G/H$ が効果的でないと、 $G/H$ の各ファイバーは $\Gamma \backslash H$ と同型なものになってしまうため、 $H$ -主バンドルにならない。
^ ^a ^b クライン幾何学の場合は $M$ 上の左不変ベクトル場に相当する^[43]。
^ 「捩率」という言葉にはアフィン接続の「捩率」と曲線の「捩率」という２つの異なる意味があるが、ここでいう捩率は前者に相当するものである。アフィン接続の捩率との関係は後述する。
^ カルタン幾何学が一階である事を利用しているのは $p\in P\to e^{p}\in F$ の単射性を保証する部分だけであり、それ以外の部分は一階でなくても成立する。
^ なお、リー代数の分野では、 ${\mathfrak {g}}$ が半単純なイデアルとアーベルなイデアルの直和で書けるときに ${\mathfrak {g}}$ は簡約可能であると呼ぶが、本項で挙げた定義はこの簡約可能性とは別概念である^[32]。なお、 $\mathrm {ad} ~:~{\mathfrak {h}}\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})$ が単射で、しかも ${\mathfrak {h}}$ がこの意味で簡約可能であれば、 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ は本項の意味で簡約可能である^[32]。
^ なお、#Sharpe pp.364-365.は「接続形式⇒カルタン接続」の方では $[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=0$ を仮定しているが、証明を読めば分かるように、実際にはこの仮定は必要ない。#Sharpeもp.362.の定理のステートメントではこの仮定に触れておらず、単なるミスと思われる。また#Sharpeもp.362.ではカルタン形式を $\omega ={\begin{pmatrix}0&0\\\theta &\gamma \end{pmatrix}}$ と表記しているが、この形に書けるのはユークリッド幾何学（もしくはより一般にアフィン幾何学）をモデル幾何学としている場合であり、一般の簡約可能なモデル幾何学の場合は必ずしもこの形に書けないので、ここもミスと判断した。
^ なおこの式の右辺は文献^[37]では、 $X$ の水平リフトを $Y$ として $Yf_{s}$ としているが、これは本項で挙げた $D_{\omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})}f_{s}$ に等しい。理由は以下の通りである。まず普遍共変微分の定義より $Yf_{s}=D_{\omega (Y)}f_{s}$ であり、水平リフト（詳細は接続 (ファイバー束)を参照）とは $\pi _{*}(Y)=X$ となる $Y$ の中で $\omega _{\mathfrak {h}}(Y)=0$ となるもののことである。そして本項の ${\tilde {X}}$ も $\pi _{*}({\tilde {X}})=X$ となり、しかも $\omega ({\tilde {X}})=\omega _{\mathfrak {h}}({\tilde {X}})+\omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})$ のうち水平成分の $\omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})$ 方向のみを考えているので、 $\omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})=\omega (Y)$ 。以上のことから $Yf_{s}=D_{\omega (Y)}f_{s}=D_{\omega _{\mathfrak {b}}(X)}f_{s}$ である。
^ なお、 $u\in M$ に対し $\pi (p)=u$ となる $p$ は複数あるため、 ${\tilde {X}}$ としてどの $p$ における接ベクトルを取るかの自由度があるが、どの $p$ における接ベクトルを選んでも結果は変わらない。
^ ここでは#Sharpe p.209.にあわせて「曲線 $\varphi$ の発展」という言い方にしたが、同書p.119.では同じ概念を「 $\omega$ の発展」（英: development of $ω$ along $\varphi$ starting at $g$ ）という言い方をしている。前者がカルタン幾何学の説明であるのに対し、後者はダルブー導関数の説明に関するものである事が言い方を変えている理由であると思われるので、ここでは前者の言い方を採用した。
^ 文献^[41]では $\Phi ^{p_{0}}$ の定義域をループ空間 $\Omega (M,u_{0})$ ではなく基本群 $\pi _{1}(M,u_{0})$ としているが、 $\Phi$ はホモトピー不変ではないので、定義域はループ空間であると判断。なお、文献^[42]では定義域を基本群としているが、これはこの文献ではカルタン幾何学が平坦な事を仮定している為、 $\Phi$ がホモトピー不変になるからである。
^ ^a ^b すなわち、 $g\in G$ と $A\in {\mathfrak {g}}=T_{e}G$ に対し、 $A$ を通る $G$ 上の左不変ベクトル場 ${\overline {A}}$ による $g$ からの1-パラメーター変換 $\exp(t{\overline {A}})(g)\in G$ の軌跡の事。
^ ^[41]には「 $G$ の元の1-パラメーター変換群」とあるが1-パラメーター変換群はリー代数に対して定義するものなので「 ${\mathfrak {g}}$ の元の1-パラメーター変換群」の誤記と判断。
^ ユークリッド空間 $\mathbb {E} ^{m}$ の合同変換群 $\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})=O(m)\ltimes \mathbb {R} ^{m}$ のリー代数 ${\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{m})={\mathfrak {o}}(m)\ltimes \mathbb {R} ^{m}$ から $A\in {\mathfrak {o}}(m)$ 、 $B\in \mathbb {R} ^{m}$ を選び、 $A+B$ の積分曲線の $\mathbb {E} ^{m}$ への射影を考えると螺旋になる。
^ ^a ^b すでに指摘したように、モデル幾何学 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )$ の $Ad$ が ${\mathfrak {g}}$ に対応するリー群 $G$ の随伴表現である事が暗に仮定されている。
^ 発展の定義は $ω$ がカルタン接続の場合に対して与えたが、一般にリー代数に値を取る1-形式に対しても同様にして発展の存在一意性を示すことができるので、「 $\mathrm {ad} \circ \omega$ に関する発展」という言葉は意味を持つ。一般の場合の定理のステートメントはダルブー導関数の項目を参照。
^ 文献^[48]では $P$ の連結を明示的には仮定していないが、 $P$ が連結ではないと $H or$ の定義が基点に依存してしまうため、暗に仮定されていると判断した。
^ 文献^[48]のステートメントでは $G$ の連結性を明示していないが、証明中で $G$ の連結性を使っているため、連結性を明記した。
^ #Sharpeでは、まず一般の1-形式 $ω$ に対し完備性を定義し、カルタン接続 $ω$ が完備な事をもってカルタン幾何学の完備性を定義している。ここで $P$ 上1-形式 $ω$ が完備であるとは、以下を満たす事を言う（#Sharpe pp.69. 129）： $P$ 上の任意のベクトル場 $X$ に対し、 $\omega (X)|_{p}$ が $p\in P$ によらず定数であれば、任意の $p\in P$ および任意の $t\in \mathbb {R}$ に対し $\exp(tX_{p})$ が定義可能である。 $ω$ がカルタン接続であれば、 $\omega (X)$ が定数となるベクトル場とはすなわち $\omega {}^{-1}(A)$ 、for $A\in {\mathfrak {g}}$ と書けるベクトル場の事であるので、ここで挙げた定義と一致する。なお文献^[49]では $A$ が時間変化する事を許すより強い完備性の定義を採用している（が、両定義の関係については明記されていないので不明）。
^ ここでいう「定数倍を除いて一意」とは2つの計量 $g$ 、 $g'$ に対し、 $M$ の点 $u$ に依存しない定数 $k$ が存在し、 $g'_{u}=kg_{u}$ となるという意味である。
^ ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学の場合にカルタン幾何学の意味での捩率がKoszul接続の捩率テンソルと同一な事はすでに示した。
^ 英語では、「捩率」はtorsion、「ねじれのない転がし」の「ねじれ」はtwistであり、両者は無関係な概念である。