STEP4
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 08:14 UTC 版)
前節で導出した、式(2-3-3)の常微分方程式を解く。 補題 4 (球対称グリーン関数)x-y-z空間上のスカラー値関数 G ( x , y , z ) {\displaystyle G(x,y,z)} が、式(2-3-1)の解となる必要充分条件は、 G {\displaystyle G} が、以下の式(2-4-2)の形で表されることである。 G = a G a d v + b G r e t {\displaystyle G=aG_{\mathrm {adv} }+bG_{\mathrm {ret} }} (2-4-2) 但しa,bは、 a + b = 1 {\displaystyle a+b=1} (2-4-3) を充す実定数であり、Gadv,Gretは、以下の式(2-4-4)、(2-4-5)で定まる関数である。 G a d v ( x , y , z , ω ) := exp ( i k r ) − 4 π r {\displaystyle {G}_{\mathrm {adv} }(x,y,z,\omega ):={\frac {\exp(ikr)}{-4\pi r}}} (2-4-4) G r e t ( x , y , z , ω ) := exp ( − i k r ) − 4 π r {\displaystyle {G}_{\mathrm {ret} }(x,y,z,\omega ):={\frac {\exp(-ikr)}{-4\pi r}}} (2-4-5) また、kは、式(2-3-4)で与えられ、rは、式(2-4-6)に定めるとおりである。 r ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle r(x,y,z)={\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}} (2-4-6) (1)常微分方程式の部まず、r≠0で式(2-3-1)を解く u ( r ) := r G ( Φ ( r , 0 , 0 ) , ω ) {\displaystyle u(r):=rG(\Phi (r,0,0),\omega )} (2-4-7) と置き、(2-3-1)式に代入すると、r≠0において、 d 2 u d r 2 ( r ) = − k 2 u ( r ) {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}(r)=-{k}^{2}u(r)} (2-4-8) が得られる。この常微分方程式は、変数分離型なので、定数（スカラー）a,bを用いて、 u ( r ) = a exp ( i k r ) − 4 π + b exp ( − i k r ) − 4 π {\displaystyle u(r)=a{\frac {\exp(ikr)}{-4\pi }}+b{\frac {\exp(-ikr)}{-4\pi }}} (2-4-9) と表される。 u ( r ) {\displaystyle u(r)} の定義より、 G ( Φ ( r , 0 , 0 ) , ω ) = a exp ( i k r ) − 4 π r + b exp ( − i k r ) − 4 π r {\displaystyle G(\Phi (r,0,0),\omega )=a{\frac {\exp(ikr)}{-4\pi r}}+b{\frac {\exp(-ikr)}{-4\pi r}}} (2-4-10) であるが、さらに、Gは、球対称性を持つため、θ,ρに依存せず、従って、任意のr,θ,ρ,ωに対して、 G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) = a exp ( i k r ) − 4 π r + b exp ( − i k r ) − 4 π r {\displaystyle G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )=a{\frac {\exp(ikr)}{-4\pi r}}+b{\frac {\exp(-ikr)}{-4\pi r}}} (2-4-11) が、r≠0において、球対称性を考慮したヘルムホルツ方程式の解だと判る。 (2)グリン関数の部次に、式(2-4-11)が、r=0において、式(2-3-3)の解となるような条件が、式(2-4-3)で与えられることを示す。 まず、 G a d v {\displaystyle G_{\mathrm {adv} }} について考える。 Gadvの両辺にラプラシアンを作用させることを考える。 ∂ [ G a d v ] ∂ x = − 1 4 π r ( ∂ [ exp ( i k r ) ] ∂ x ) + exp ( i k r ) ∂ ∂ x [ − 1 4 π r ] {\displaystyle {\frac {\partial [{G}_{\mathrm {adv} }]}{\partial x}}={\frac {-1}{4\pi r}}\left({\frac {\partial [\exp(ikr)]}{\partial x}}\right)+\exp(ikr){\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]} = − i k x exp ( i k r ) 4 π r 2 + exp ( i k r ) ∂ ∂ x [ − 1 4 π r ] {\displaystyle ={\frac {-ikx\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}+\exp(ikr){\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]} (2-4-12) 従って、 ∂ 2 G a d v ∂ 2 x = ∂ ∂ x [ − i k x exp ( i k r ) 4 π r 2 ] + ∂ ∂ x [ exp ( i k r ) ∂ ∂ x [ 1 − 4 π r ] ] {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}{G}_{\mathrm {adv} }}{{\partial }^{2}x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {-ikx\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}\right]+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\exp(ikr){\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{-4\pi r}}\right]\right]} = − i 2 k 2 x 2 exp ( i k r ) 4 π r 3 + i k exp ( i k r ) 4 π r 2 + − i k x 2 exp ( i k r ) − 4 π r 3 + 2 i k x 2 exp ( i k r ) − 4 π r 4 + exp ( i k r ) ∂ 2 ∂ x 2 [ − 1 4 π r ] {\displaystyle ={\frac {-{i}^{2}{k}^{2}{x}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}+{\frac {ik\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}+{\frac {-ik{x}^{2}\exp(ikr)}{-4\pi {r}^{3}}}+{\frac {2ik{x}^{2}\exp(ikr)}{-4\pi {r}^{4}}}+\exp(ikr){\frac {{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}}\left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]} = k 2 x 2 exp ( i k r ) 4 π r 3 + exp ( i k r ) ∂ 2 ∂ x 2 [ 1 4 π r ] − i k exp ( i k r ) 4 π r 2 + 3 i k x 2 exp ( i k r ) 4 π r 3 {\displaystyle ={\frac {{k}^{2}{x}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}+\exp(ikr){\frac {{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi r}}\right]-{\frac {ik\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}+{\frac {3ik{x}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}} (2-4-13) 同様に、 ∂ 2 G a d v ∂ 2 y = k 2 y 2 exp ( i k r ) 4 π r 3 + exp ( i k r ) ∂ 2 ∂ y 2 [ − 1 4 π r ] − i k exp ( i k r ) 4 π r 2 + 3 i k y 2 exp ( i k r ) 4 π r 3 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}{G}_{\mathrm {adv} }}{{\partial }^{2}y}}={\frac {{k}^{2}{y}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}+\exp(ikr){\frac {{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}}\left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]-{\frac {ik\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}+{\frac {3ik{y}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}} (2-4-14) ∂ 2 G a d v ∂ 2 z = k 2 z 2 exp ( i k r ) 4 π r 3 + exp ( i k r ) ∂ 2 ∂ z 2 [ − 1 4 π r ] − i k exp ( i k r ) 4 π r 2 + 3 i k z 2 exp ( i k r ) 4 π r 3 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}{G}_{\mathrm {adv} }}{{\partial }^{2}z}}={\frac {{k}^{2}{z}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}+\exp(ikr){\frac {{\partial }^{2}}{\partial {z}^{2}}}\left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]-{\frac {ik\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}+{\frac {3ik{z}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}} (2-4-15) 以上から、 Δ [ G a d v ] = k 2 exp ( i k r ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 4 π r 3 + 1 4 π exp ( i k r ) Δ [ 1 r ] + {\displaystyle \Delta [{G}_{\mathrm {adv} }]={k}^{2}\exp(ikr){\frac {({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}{4\pi {r}^{3}}}+{\frac {1}{4\pi }}\exp(ikr)\Delta [{\frac {1}{r}}]+} − 1 4 π 3 i k exp ( i k r ) 1 r 2 + 3 i k exp ( i k r ) x 2 + y 2 + z 2 r 3 r 3 {\displaystyle {\frac {-1}{4\pi }}3ik\exp(ikr){\frac {1}{{r}^{2}}}+3ik\exp(ikr){\frac {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}{{r}^{3}}}{{r}^{3}}} = − k 2 exp ( i k r ) − 1 4 π r + exp ( i k r ) Δ [ − 1 4 π r ] = − k 2 G a d v + Δ [ − 1 4 π r ] {\displaystyle =-{k}^{2}\exp(ikr){\frac {-1}{4\pi r}}+\exp(ikr)\Delta [{\frac {-1}{4\pi r}}]=-{k}^{2}{G}_{\mathrm {adv} }+\Delta [{\frac {-1}{4\pi r}}]} (2-4-16) 以上から、 D [ G a d v ] = exp ( i k r ) Δ [ − 1 4 π r ] {\displaystyle D[{G}_{\mathrm {adv} }]=\exp(ikr)\Delta [{\frac {-1}{4\pi r}}]} (2-4-17a) 同様に、 D [ G r e t ] = exp ( − i k r ) Δ [ − 1 4 π r ] {\displaystyle D[{G}_{\mathrm {ret} }]=\exp(-ikr)\Delta [{\frac {-1}{4\pi r}}]} (2-4-17b) となる。 ここで、ティラックのデルタの体積積分（補足参照）より、 Δ [ − 1 4 π r ] = δ ( r ) {\displaystyle \Delta \left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]=\delta (r)} (2-4-18) であり、さらに、 exp ( i k r ) δ ( r ) = { 0 exp ( i k r ) if r ≠ 0 ∞ exp ( i k 0 ) if r = 0. = { 0 if r ≠ 0 ∞ if r = 0. = δ ( r ) {\displaystyle \exp(ikr)\delta (r)={\begin{cases}0\exp(ikr)&{\text{if }}r\neq 0\\\infty \exp(ik0)&{\text{if }}r=0.\end{cases}}={\begin{cases}0&{\text{if }}r\neq 0\\\infty &{\text{if }}r=0.\end{cases}}=\delta (r)} (2-4-19a) exp ( − i k r ) δ ( r ) = δ ( r ) {\displaystyle \exp(-ikr)\delta (r)=\delta (r)} (2-4-19b) である。従って、式(2-4-2)の左辺にDを作用させると、 D G a d v = δ 3 ( r ) {\displaystyle DG_{\mathrm {adv} }=\delta ^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-4-20a) D G r e t = δ 3 ( r ) {\displaystyle DG_{\mathrm {ret} }=\delta ^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-4-20b) D [ G ] = a D [ G a d v ] + b D [ G r e t ] = ( a + b ) δ 3 ( r ) {\displaystyle D[G]=aD[G_{\mathrm {adv} }]+bD[G_{\mathrm {ret} }]=(a+b)\delta ^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-4-20c) であることから、式(2-4-3)の係数条件が満たされれば、式(2-4-2)の G {\displaystyle G} は、 r = 0 {\displaystyle r=0} においても、球対称性を考慮したヘルムホルツ方程式の解であることが判った。 充分性については、常微分方程式の解の一意性より自明であろう。
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