Tangent

デジタル大辞泉

タンジェント【tangent】

読み方：たんじぇんと

《原義は、…に接触している、…に接する、の意》三角比・三角関数の一。直角三角形で、一つの鋭角について、底辺に対する対辺の比。また、これを一般角に拡張して得られる関数。記号tan　正接。正接関数。

大車林

タンジェント

英語 tangent

曲線の連続性評価コマンド。接線接続のこと。C1接線接続の一致によるスムージングであるが、ラインに折れ角を感じることがある。連続性品質は曲率一致接線連続より低い。

参照 カーバチャー

※「大車林」の内容は、発行日である2004年時点の情報となっております。

ウィキペディア

三角関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/08/16 11:19 UTC 版)

三角関数（さんかくかんすう、英: trigonometric function）とは、平面三角法における、角度の大きさと線分の長さの関係を記述する関数の族、およびそれらを拡張して得られる関数の総称である。鋭角を扱う場合、三角関数の値は対応する直角三角形の二辺の長さの比（三角比）である。三角法に由来する三角関数という呼び名のほかに、単位円を用いた定義に由来する円関数（えんかんすう、circular function）という呼び名がある。

単位円による、6つの三角関数が表す長さ。

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正弦 sin	余弦 cos
正接 tan	余接 cot
正割 sec	余割 csc (cosec)

三角関数には以下の6つがある。なお、正弦、余弦、正接の3つのみを指して三角関数と呼ぶ場合もある。

• 正弦（せいげん）、sin（sine）
• 余弦（よげん）、cos（cosine）
• 正接（せいせつ）、tan（tangent）
• 正割（せいかつ）、sec（secant）
• 余割（よかつ）、csc,cosec（cosecant）
• 余接（よせつ）、cot（cotangent）

特に sin, cos は円運動や様々な関数（楕円積分や三角積分、ベッセル関数など）との関連性、ベクトルのクロス積や内積、回転の複素数による表現、周期性や正負の符号、フーリエ級数など幾何学的にも解析学的にも良い性質をもっているので、様々な分野で用いられる。例えば、波や信号などは正弦関数と余弦関数とを組み合わせて表現することができる。この事実はフーリエ級数およびフーリエ変換の理論として知られ、音声などの信号の合成や解析の手段として利用されている。ベクトルのクロス積や内積は正弦関数および余弦関数を用いて表すことができ、ベクトルを図形に対応づけることができる。初等的には、三角関数は実数を変数とする1変数関数として定義される。三角関数の変数に対応するものとしては、図形のなす角度や、物体の回転角、波や信号のような周期的なものにおける位相などが挙げられる。

三角関数に用いられる独特な記法として、三角関数の冪乗と逆関数に関するものがある。通常、関数 f(x) の累乗は (f(x))² = f(x)・f(x) や (f(x))⁻¹ = 1/f(x) のように書くが、三角関数の累乗は sin²x のように書かれることが多い。逆三角関数については通常の記法 (f⁻¹(x)) と同じく、sin⁻¹x などと表す（この文脈では、三角関数の逆数は分数を用いて 1/sin x または (sin x)⁻¹ のように表される）。文献または著者によっては、通常の記法と三角関数に対する特殊な記法との混同を避けるため、三角関数の累乗を通常の関数と同様にすることがある。また、三角関数の逆関数として −1 を添え字にする代わりに関数の頭に arc を付けることがある（たとえば sin の逆関数として sin⁻¹ の代わりに arcsin を用いる。Arc を付けて Arcsin と表すこともある）。

三角関数に似た性質をもつ関数として、指数関数、双曲線関数、ベッセル関数などがある。また、三角関数を利用して定義される関数としてしばしば応用されるものにsinc関数がある。

定義

直角三角形によるもの

∠C を直角とする直角三角形ABC
    斜辺AB = h (hypotenuse)
    対辺BC = a (opposite side)
    底辺AC = b (adjacent side、隣辺)

直角三角形において、1 つの鋭角の大きさが決まれば、三角形の内角の和は 180°であることから他の 1 つの鋭角の大きさも決まり、3 辺の比も決まる。ゆえに、角度に対して辺比（三角比）の値を与える関数を考えることができる。

∠C を直角とする直角三角形 ABC において、斜辺AB、∠A の対辺BC、底辺（隣辺）CA の辺の長さをそれぞれ AB = h, BC = a, CA = b と表す（図を参照）。∠A = θ に対して三角形の辺の比 h : a : b が決まることから、

${\\displaystyle {\\begin{aligned}\\sin \\theta &={\\frac {a}{h}}\\\\\\cos \\theta &={\\frac {b}{h}}\\\\\\tan \\theta &={\\frac {a}{b}}={\\frac {\\sin \\theta }{\\cos \\theta }}\\\\\\sec \\theta &={\\frac {h}{b}}={\\frac {1}{\\cos \\theta }}\\\\\\operatorname {cosec} \\theta &=\\csc \\theta ={\\frac {h}{a}}={\\frac {1}{\\sin \\theta }}\\\\\\cot \\theta &={\\frac {b}{a}}={\\frac {1}{\\tan \\theta }}\\end{aligned}}}$

6種類の三角関数、単位円、θ = 0.7ラジアンの角度に対する直線の図。直線の色が変わる点3点を考えたとき、1、Sec(θ)、Csc(θ)については原点から各点への線分の長さを表し、Sin(θ)、Tan(θ)、1 は各点のy成分を表す。Cos(θ)、1、Cot(θ)は各点の x 成分を表す。

2 次元ユークリッド空間 R² における単位円 {x(t)}² + {y(t)}² = 1 上の点を A = (x(t), y(t)) とする。反時計回りを正の向きとして、原点と円周を結ぶ線分 OA と x 軸のなす角の大きさ ∠xOA を媒介変数 t として選ぶ。このとき実数の変数 t に対する三角関数は以下のように定義される。

${\\displaystyle {\\begin{aligned}\\sin t&=y\\\\\\cos t&=x\\\\\\tan t&={\\frac {y}{x}}={\\frac {\\sin t}{\\cos t}}\\end{aligned}}}$

正円より得られる cosθ と sinθ

sinx と cosx のグラフ。これらの関数の周期性が確認できる。

x 軸の正の部分となす角は

${\\displaystyle t=\\theta +2\\pi n\\quad (0\\leq \\theta <2\\pi ,\\,n\\in \\mathbb {Z} )}$

三角関数のグラフ: Sine（青実線）、 Cosine（緑実線）、 Tangent（赤実線）、 Cosecant（青点線）、 Secant（緑点線）、 Cotangent（赤点線）

相互関係

単位円上の点の座標の関数であることから、三角関数の間には多数の相互関係が存在する。

基本相互関係

三角関数の間に成り立つ最も基本的な恒等式の 1 つとして

${\\displaystyle \\sin ^{2}\\theta +\\cos ^{2}\\theta =1}$

PQ（緑の線分の長さ）を求める。

また、初等幾何的な証明もある。以下では、ピタゴラスの定理を用いる証明を示す。（ただし、ピタゴラスの定理を用いない証明もある。)この方法では、円周上の任意の 2 点間の距離を 2 通りの座標系について求めることで、両者が等しいことから加法定理を導く。2 点間の距離を求めるのに三平方の定理を用いる。以下では単位円のみを取り扱うが、円の半径によらずこの方法から加法定理を得ることができる。

単位円の周上に 2 点 P = (cosp, sinp), Q = (cosq, sinq) を取る。P と Q を結ぶ線分の長さを PQ として、その 2 乗 PQ² を 2 通りの方法で求めることを考える（右図も参照）。

P と Q の x 座標の差と y 座標の差から、三平方の定理を用いて PQ² を求める。

${\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {PQ} ^{2}&=\\left(\\cos p-\\cos q\\right)^{2}+\\left(\\sin p-\\sin q\\right)^{2}\\\\&=\\left(\\cos ^{2}p+\\sin ^{2}p\\right)+\\left(\\cos ^{2}q+\\sin ^{2}q\\right)-2\\left(\\cos p\\cos q+\\sin p\\sin q\\right)\\\\&=2-2\\left(\\cos p\\cos q+\\sin p\\sin q\\right).\\end{aligned}}}$

cos(x + iy) の実部のグラフ

cos(x + iy) の虚部のグラフ

sin(x + iy) の実部のグラフ

sin(x + iy) の虚部のグラフ

球面三角法

球面の三角形 ABC の内角を a, b, c, 各頂点の対辺に関する球の中心角を α, β, γ とするとき、次のような関係が成立する。余弦公式や正弦余弦公式は式の対称性により各記号を入れ替えたものも成立する。

正弦公式

sina : sinb : sinc = sinα : sinβ : sinγ

余弦公式

cosa = −cosb cosc + sinb sinc cosα

余弦公式

cosα = cosβ cosγ + sinβ sinγ cosa

正弦余弦公式

sina cosβ = cosb sinc − sinb cosc cosα

語源　

三角関数の英語の名称の語源について記す。

sineはもとはchord-half(半弦)を意味するサンスクリット jya ̄-ardha起源であり、省略形ji ̄va ̄がアラビア語に音訳されてjibaとなった。だが1145年にチェスターのロバートがフワーリズミーのヒサーブ・アル＝ジャブル・ワル＝ムカーバラをラテン語に翻訳する際に、jaibと混同した事で胸、湾の意味のsinusと翻訳された。

tangentは”touching”を意味するラテン語tangens由来で、secantは”cutting”を意味するラテン語secans由来である。

cosine、cotangent、cosecantはそれぞれ接頭辞のco-がついた形であり、co-はcofunctionと共通し、これはcompliment angle(直角三角形の直角でないもう一つの角、余角)に対するsine、tangent、secantという意味である。cosine、cotangentが初めて書かれた形で確認されるのは1620年のエドマンド・ガンターによる”Canon triangulorum”の中である。ラテン語のcosinusとして登場し、これはsinus complementiの略である。

日本語の正弦、余弦に関しては、徐光啓らが編纂した『崇禎暦書』の中で、羅雅谷が1631年に著した『測量全義』の八線のうちに見られる。「正」の漢字には、「真向かいの」「主となるもの」という意味がある。

参考文献

• Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. ISBN 978069105754-5 
• 志賀浩二『数の大航海―対数の誕生と広がり』日本評論社、1999年7月。 ISBN 978-4-535-78289-1。 
• 高瀬正仁『古典的難問に学ぶ微分積分』共立出版、2013年7月。 ISBN 978-4-320-11041-0。 
• Vinogradov, Ivan Matveyevich (2004-09-10). The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers (revised ed.). Dover. ISBN 978-048643878-8 
• 黒川信重、小山信也『多重三角関数論講義』日本評論社、2010年11月8日。 ISBN 978-4-535-785557。  ※ 通常の三角関数、ガンマ関数、ゼータ関数などを「多重化」した特殊関数の理論の構築。
• 黒川信重：「現代三角函数論」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005327-3 (2013年11月7日).　※ 通常の三角関数、ガンマ関数、ゼータ関数などを「多重化」した特殊関数の理論の構築。
• 杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会〈基礎数学2〉、1980年。 ISBN 978-4-13-062005-5。 
• 黒田成俊『微分積分』共立出版〈共立講座21世紀の数学 第1巻〉、2002年。 ISBN 978-4320015531。 
• 高木貞治『定本 解析概論』（改訂第3版）岩波書店、2010年。 ISBN 978-4000052092。 
• 小平邦彦『解析入門I』（軽装版）岩波書店、2003年。 ISBN 978-4000051927。 

関連項目

• 正弦定理
• 余弦定理
• 正接定理
• 球面三角法
• コサイン4乗則
• ベクトルのなす角 - cos 関数を用いて表現される。
• ドット積
• クロス積
• ベッセル関数
• sinc関数
• 指数関数
• 双曲線関数
• オイラーの公式
• 円 - 正円の三角関数との関係
• ベジェ曲線 - 三角関数のベジエ曲線による近似
• テイラー展開 - コンピュータ上での三角関数の実装に使用
• 算数チャチャチャ - 歌詞に三角関数の問題の解き方が含まれる
• 3次元コンピュータグラフィックス

外部リンク

• 三角比の近似値表
• Weisstein, Eric W. “Trigonometric Functions”. mathworld.wolfram.com (英語).
• 江戸時代の三角関数表(これなあに)
• 『三角関数』 - コトバンク