ペンテーション (英 : pentation ) は、テトレーション の次の、5番目のハイパー演算 である。つまり、自らのテトレーションを指定された回数反復する演算 である。[1]
第1から第5のハイパー演算は次のとおり。
加算 (hyper1)
a
+
b
=
a
+
1
+
1
+
⋯
+
1
⏟
長 さ
b
{\displaystyle a+b=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{{\text{長 さ }}b}}
乗算 (hyper2)
a
×
b
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
長 さ
b
{\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{{\text{長 さ }}b}}
冪乗 (hyper3)
a
b
=
a
↑
b
=
a
×
a
×
⋯
×
a
⏟
長 さ
b
{\displaystyle a^{b}=a\uparrow b=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{{\text{長 さ }}b}}
テトレーション (hyper4)
b
a
=
a
↑↑
b
=
a
↑
a
↑
⋯
↑
a
⏟
長 さ
b
=
a
a
⋅
⋅
⋅
a
⏟
高 さ
b
{\displaystyle ^{b}a=a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{{\text{長 さ }}b}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{{\text{高 さ }}b}}
ペンテーション (hyper5)
b
a
=
a
↑↑↑
b
=
a
↑↑
a
↑↑
⋯
↑↑
a
⏟
長 さ
b
=
a
⋅
⋅
⋅
a
a
⏟
高 さ
b
=
a
a
⋅
⋅
⋅
a
⏟
高 さ
a
a
⋅
⋅
⋅
a
⏟
⋮
⏟
高 さ
a
a
⋅
⋅
⋅
a
⏟
高さ
a
}
下 か ら
b
層
{\displaystyle {\begin{aligned}_{b}a&=a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a} _{{\text{長 さ }}b}=\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高 さ }}b}\\&\left.{\begin{matrix}=&\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{{\text{高 さ }}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{{\text{高 さ }}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{{\text{高さ}}a}}}}\end{matrix}}\right\}{\text{下 か ら }}b{\text{層}}\end{aligned}}}
a を底、 b を層数という。
ペンテーションは底 a を固定するごとに初等帰納的関数 であるが、 a を変数と見なすと初等的ではない。
ちなみにペンテーションの反復による演算（6番目のハイパー演算）はヘキセーション と呼ばれる。
a
↑
4
b
=
a
↑↑↑↑
b
=
a
↑↑↑
a
↑↑↑
⋯
↑↑↑
a
⏟
長 さ
b
=
a
⋅
⋅
⋅
a
a
⏟
高 さ
b
=
a
⋅
⋅
⋅
a
a
⏟
高 さ
a
⋅
⋅
⋅
a
a
⏟
⋮
⏟
高 さ
a
⋅
⋅
⋅
a
a
⏟
高さ
a
}
下 か ら
b
層
{\displaystyle {\begin{aligned}a\uparrow ^{4}b&=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow \uparrow a} _{{\text{長 さ }}b}=\underbrace {_{_{_{_{_{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高 さ }}b}\\&\left.{\begin{matrix}=&\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高 さ }}\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{\underbrace {\vdots } _{{\text{高 さ }}\underbrace {^{^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高さ}}a}}}}\end{matrix}}\right\}{\text{下 か ら }}b{\text{層}}\end{aligned}}}
計算の順序
a
↑
3
n
=
a
↑
2
a
↑
2
⋯
↑
2
a
↑
2
a
⏟
n
=
a
↑
2
(
a
↑
2
(
⋯
a
↑
2
(
a
↑
2
a
)
)
)
=
a
↑
2
a
↑
2
a
↑
2
⋯
↑
2
a
↑
2
a
⏟
n
−
1
=
a
↑
2
a
↑
3
(
n
−
1
)
a
↑
3
n
=
a
a
⋅
⋅
⋅
a
a
⏟
高 さ
n
=
(
(
(
a
a
)
⋅
⋅
⋅
)
a
)
a
{\displaystyle {\begin{aligned}a\uparrow ^{3}n&=\underbrace {a\uparrow ^{2}a\uparrow ^{2}\cdots \uparrow ^{2}a\uparrow ^{2}a} _{n}=a\uparrow ^{2}{\biggl (}a\uparrow ^{2}{\Bigl (}\cdots a\uparrow ^{2}{\bigl (}a\uparrow ^{2}a{\bigr )}{\Bigr )}{\biggr )}\\&=a\uparrow ^{2}\underbrace {a\uparrow ^{2}a\uparrow ^{2}\cdots \uparrow ^{2}a\uparrow ^{2}a} _{n-1}=a\uparrow ^{2}a\uparrow ^{3}\left(n-1\right)\\a\uparrow ^{3}n&=\underbrace {^{^{^{^{^{^{a}a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{{\text{高 さ }}n}={^{\left({^{\left({^{^{^{\left({^{a}a}\right)}\cdot }\cdot }\cdot }\right)}a}\right)}a}\end{aligned}}}
テトレーションは結合法則 を満たさないため、計算の順序を変えると値が変わってしまうことに注意。
3
↑
2
(
3
↑
2
2
)
=
3
↑
2
(
3
↑
3
)
=
3
↑
2
27
=
3
3
3
⋅
⋅
⋅
3
3
3
⏟
高 さ
27
(
3
↑
2
3
)
↑
2
2
=
(
3
↑
3
↑
3
)
↑
2
2
=
7625597484987
↑
2
2
=
(
3
↑
3
↑
3
)
↑
(
3
↑
3
↑
3
)
=
3
↑
(
3
↑
3
×
(
3
↑
3
↑
3
)
)
=
3
↑
(
3
↑
(
3
+
3
↑
3
)
)
=
3
↑
(
3
↑
(
3
+
27
)
)
=
3
↑
(
3
↑
30
)
{\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow ^{2}\left(3\uparrow ^{2}2\right)=&3\uparrow ^{2}\left(3\uparrow 3\right)=3\uparrow ^{2}27=\underbrace {3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3^{3^{3}}}}}}}}} _{{\text{高 さ }}27}\\\left(3\uparrow ^{2}3\right)\uparrow ^{2}2{~\,}=&\left(3\uparrow 3\uparrow 3\right)\uparrow ^{2}2=7625597484987\uparrow ^{2}2\\=&\left(3\uparrow 3\uparrow 3\right)\uparrow \left(3\uparrow 3\uparrow 3\right)=3\uparrow \left(3\uparrow 3\times \left(3\uparrow 3\uparrow 3\right)\right)=3\uparrow \left(3\uparrow \left(3+3\uparrow 3\right)\right)\\=&3\uparrow \left(3\uparrow \left(3+27\right)\right)=3\uparrow \left(3\uparrow 30\right)\end{aligned}}}
二番目の式のように左から（下から）計算したものは、五階の下付きハイパー演算
a
(
5
)
n
{\displaystyle a{_{(5)}}n}
歴史 「ペンテーション」という言葉は、1947年にルーベン・グッドスタイン（英語版 ） によって"penta-"(5)と"iteration"の二つの語から作られたものである。これは、彼のハイパー演算に対する命名規則の中の一部である。[2]
表記 ペンテーションを表すにはいくつか等価な表記がある。
名称
表記
クヌースの矢印表記
a
↑↑↑
n
,
a
↑
3
n
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow n,~a\uparrow ^{3}n}
コンウェイのチェーン表記
a
→
n
→
3
{\displaystyle a\rightarrow n\rightarrow 3}
ハイパー演算 表記
a
[
5
]
n
,
H
5
(
a
,
n
)
{\displaystyle a[5]n,~H_{5}(a,n)}
hyper
(
a
,
5
,
n
)
,
hyper5
(
a
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {hyper} (a,5,n),~\operatorname {hyper5} (a,n)}
バウアーズの配列表記
{
a
,
b
,
3
}
{\displaystyle \lbrace a,b,3\rbrace }
ハイパーE表記[3]
E
(
a
)
1
#
1
#
n
{\displaystyle E(a)1\#1\#n}
例 ペンテーション
b
a
{\displaystyle _{b}a}
アッカーマン関数 の値の表の四行目から求められる。即ち、関数
A
{\displaystyle A}
A
(
n
,
m
)
=
A
(
m
−
1
,
A
(
m
,
n
−
1
)
)
{\displaystyle A(n,m)=A(m-1,A(m,n-1))}
A
(
1
,
n
)
=
a
n
,
A
(
m
,
1
)
=
a
{\displaystyle A(1,n)=an,~A(m,1)=a}
a
↑
3
b
=
A
(
4
,
b
)
{\displaystyle a\uparrow ^{3}b=A(4,b)}
[4]
ペンテーションがベースとしているテトレーション が高さ非整数の場合へ拡張されていないので、今のところペンテーション
a
↑
3
b
{\displaystyle a\uparrow ^{3}b}
a
>
0
,
b
>
0
{\displaystyle a>0,~b>0}
第三のハイパー演算（冪乗 ）およびそれ以上のハイパー演算と同様、ペンテーションは以下の自明な恒等式を満たす。
1
↑
3
b
=
1
{\displaystyle 1\uparrow ^{3}b=1}
a
↑
3
1
=
a
{\displaystyle a\uparrow ^{3}1=a}
また、次のように定めることができる。
a
↑
3
0
=
1
{\displaystyle a\uparrow ^{3}0=1}
a
↑
3
−
1
=
0
{\displaystyle a\uparrow ^{3}-1=0}
ペンテーションは極めて急速に値が増大するため、値を従来の表記法で書き下せるのは一部の場合に限られている。
x
{\displaystyle x}
x
↑
3
2
{\displaystyle x\uparrow ^{3}2}
x
↑
3
3
{\displaystyle x\uparrow ^{3}3}
x
↑
3
4
{\displaystyle x\uparrow ^{3}4}
1
1
2
4 (それは
lim
x
→
0
(
2
↑
1
x
2
)
=
lim
x
→
0
(
2
→
2
→
1
x
)
=
4
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(2\uparrow ^{\frac {1}{x}}2\right)=\lim _{x\to 0}\left(2\rightarrow 2\rightarrow {\frac {1}{x}}\right)=4}
→
{\displaystyle \rightarrow }
コンウェイのチェーン表記 )
65,536
exp
10
65533
(
4.29508
)
{\displaystyle \exp _{10}^{65533}(4.29508)}
3
7,625,597,484,987
exp
10
7
,
625
,
597
,
484
,
986
(
1.09902
)
{\displaystyle \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}
4
exp
10
3
(
2.19
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.19)}
072 304 726 028 225 379 382 630 397 085 399 030 071 367 921 738 743 031 867 082 828 418 414 481 568 309 149 198 911 814 701 229 483 451 981 557 574 771 156 496 457 238 535 299 087 481 244 990 261 351 117
5
exp
10
4
(
3.33928
)
{\displaystyle \exp _{10}^{4}(3.33928)}
102184.1257220888 桁より大きい)
脚注
^ Perstein, Millard H. (June 1962), “Algorithm 93: General Order Arithmetic”, Communications of the ACM 5 (6): 344, doi :10.1145/367766.368160 ^ Goodstein, R. L. (1947), “Transfinite ordinals in recursive number theory”, The Journal of Symbolic Logic 12 : 123–129, MR 0022537 ^ One to Infinity: A Guide to the Finite ^ Nambiar, K. K. (1995), “Ackermann functions and transfinite ordinals”, Applied Mathematics Letters 8 (6): 51–53, doi :10.1016/0893-9659(95)00084-4 , MR
1368037
![{\displaystyle a[5]n,~H_{5}(a,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac9aac5da2195466681d4da440979c21b50cb7e)
