電磁気学のラグランジュ形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 21:58 UTC 版)
「古典電磁気学の共変定式」の記事における「電磁気学のラグランジュ形式」の解説
電磁場を記述する系の力学変数は4元ポテンシャル A であり、一般化速度に相当する力学変数の微分は電磁場強度 F である。作用汎関数 S [ A ] = ∫ L ( A , F ) − g d 4 x {\displaystyle {\mathcal {S}}[A]=\int {\mathcal {L}}(A,F){\sqrt {-g}}\,d^{4}x} から導かれる電磁場 A の運動方程式は 0 = δ S [ A ] δ A μ ( x ) = ∂ L ∂ A μ − g − ∂ ν [ ∂ L ∂ ( ∂ ν A μ ) − g ] = ∂ L ∂ A μ − g − 2 ∂ ν [ ∂ L ∂ F ν μ − g ] = [ ∂ L ∂ A μ − 2 D ν ∂ L ∂ F ν μ ] − g {\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {\delta {\mathcal {S}}[A]}{\delta A_{\mu }(x)}}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}{\sqrt {-g}}-\partial _{\nu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}{\sqrt {-g}}\right]\\&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}{\sqrt {-g}}-2\,\partial _{\nu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial F_{\nu \mu }}}{\sqrt {-g}}\right]\\&=\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}-2\,{\mathcal {D}}_{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial F_{\nu \mu }}}\right]{\sqrt {-g}}\\\end{aligned}}} である。ここで √-g はヤコビ行列式であり、微分作用素 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} は共変微分である。
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