逐次崩壊の数理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/02 01:38 UTC 版)
娘核種も放射能を持つとき、放射性物質の放射能の減衰は単純な時間的な指数関数的減少とは異なり、親核種と娘核種に関する連立微分方程式を立てなくてはならない。一般に、娘核種の半減期が親核種の半減期よりも長い場合、時間とともに親核種が崩壊してゆくため、娘核種のみが残ることになる。また逆に、娘核種の半減期が親核種よりも短い場合、放射性平衡 (radioactive equilibrium) と呼ばれる平衡状態が成立する。放射性平衡が成り立つときは単純な結果を得ることができる。 たとえば放射性物質Aが崩壊してB、Bも放射性物質であり、これが崩壊してCになりこれは安定核であったとすれば、それらの任意の時刻tにおける量は連立微分方程式 d N A d t = − λ A N A d N B d t = λ A N A − λ B N B d N C d t = λ B N B − λ C N C {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN_{\mathrm {A} }}{dt}}&=-\lambda _{\mathrm {A} }N_{\mathrm {A} }\\{\frac {dN_{\mathrm {B} }}{dt}}&=\lambda _{\mathrm {A} }N_{\mathrm {A} }-\lambda _{\mathrm {B} }N_{\mathrm {B} }\\{\frac {dN_{\mathrm {C} }}{dt}}&=\lambda _{\mathrm {B} }N_{\mathrm {B} }-\lambda _{\mathrm {C} }N_{\mathrm {C} }\end{aligned}}} によって表される。これを逐次崩壊という。容易に拡張されるように、プルトニウムなどの3つ以上の崩壊系列をなす核種ではn番目の放射能の量は d N n d t = λ n − 1 N n − 1 − λ n N n {\displaystyle {\frac {dN_{n}}{dt}}=\lambda _{n-1}{N_{n-1}}-\lambda _{n}{N_{n}}} で与えられることが推測できるが、ここではおもに三段階の崩壊の場合についてのみ述べる。ここでAのみがあった状態で初期条件 t = 0 を与えれば明らかに、Aの量がそのまま初期値であり、2番目以降はゼロであることは明らかである。Aの初期値をN0とおけばそれぞれの任意の時刻の放射能は N A ( t ) = N 0 e − λ A t N B ( t ) = N 0 λ A e − λ A t − e − λ B t λ B − λ A N C ( t ) = N 0 λ A λ B ( e − λ A t ( λ B − λ A ) ( λ C − λ A ) − e − λ B t ( λ B − λ A ) ( λ C − λ B ) + e − λ C t ( λ A − λ C ) ( λ B − λ C ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathrm {A} }(t)&=N_{0}e^{-\lambda _{\mathrm {A} }t}\\N_{\mathrm {B} }(t)&=N_{0}\lambda _{\mathrm {A} }{\frac {e^{-\lambda _{\mathrm {A} }t}-e^{-\lambda _{\mathrm {B} }t}}{\lambda _{\mathrm {B} }-\lambda _{\mathrm {A} }}}\\N_{\mathrm {C} }(t)&=N_{0}\lambda _{\mathrm {A} }\lambda _{\mathrm {B} }\left({\frac {e^{-\lambda _{\mathrm {A} }t}}{(\lambda _{\mathrm {B} }-\lambda _{\mathrm {A} })(\lambda _{\mathrm {C} }-\lambda _{\mathrm {A} })}}-{\frac {e^{-\lambda _{\mathrm {B} }t}}{(\lambda _{\mathrm {B} }-\lambda _{\mathrm {A} })(\lambda _{\mathrm {C} }-\lambda _{\mathrm {B} })}}+{\frac {e^{-\lambda _{\mathrm {C} }t}}{(\lambda _{\mathrm {A} }-\lambda _{\mathrm {C} })(\lambda _{\mathrm {B} }-\lambda _{\mathrm {C} })}}\right)\end{aligned}}} で与えられる。ここで、Aは単調減少であり、B、C等は最初は増加するものの平衡に達すると減少へと転ずる。AよりBの崩壊定数が大きい（λA < λB）とき、十分大きな時間 t が経過すれば exp ( − λ A t ) ≫ exp ( − λ B t ) {\displaystyle \exp({-\lambda _{\mathrm {A} }t})\gg \exp({-\lambda _{\mathrm {B} }t})} すなわちBのほうが早く減少するため、 N B / N A ≪ 1 {\displaystyle N_{\mathrm {B} }/N_{\mathrm {A} }\ll 1} として N B ≈ N 0 λ A λ B − λ A e − λ A t {\displaystyle N_{\mathrm {B} }\approx {\frac {N_{0}\lambda _{\mathrm {A} }}{\lambda _{\mathrm {B} }-\lambda _{\mathrm {A} }}}e^{-\lambda _{\mathrm {A} }t}} のように近似できるわけであるが、これこそが過度平衡である。さらに、Aの半減期が圧倒的に長く、λA ≪ λB といった状態では適当な時間が経過するならば λ A N A = λ B N B = λ C N C = ⋯ {\displaystyle \lambda _{\mathrm {A} }N_{\mathrm {A} }=\lambda _{\mathrm {B} }N_{\mathrm {B} }=\lambda _{\mathrm {C} }N_{\mathrm {C} }=\dotsb } と崩壊率が等しくなる。存在比は上記式より N A : N B : N C : ⋯ = 1 / λ A : 1 / λ B : 1 / λ C : ⋯ = T A : T B : T C : ⋯ {\displaystyle N_{\mathrm {A} }:N_{\mathrm {B} }:N_{\mathrm {C} }:\dotsb =1/\lambda _{\mathrm {A} }:1/\lambda _{\mathrm {B} }:1/\lambda _{\mathrm {C} }:\dotsb =T_{\mathrm {A} }:T_{\mathrm {B} }:T_{\mathrm {C} }:\dotsb } がただちに得られる。これを永年平衡または永続平衡という。
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