逆関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 15:19 UTC 版)
逆誤差関数は次のような級数となる。 erf − 1 ( z ) = ∑ k = 0 ∞ c k 2 k + 1 ( π 2 z ) 2 k + 1 {\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\left(z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1}\,\!} ここで、 c 0 = 1 {\displaystyle c_{0}=1} であり、 c k = ∑ m = 0 k − 1 c m c k − 1 − m ( m + 1 ) ( 2 m + 1 ) = { 1 , 1 , 7 6 , 127 90 , … } {\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}} となる。従って、次のような級数の展開が得られる（分子と分母に共通して出現する係数は省いてある）。 erf − 1 ( z ) = 1 2 π ( z + π 12 z 3 + 7 π 2 480 z 5 + 127 π 3 40320 z 7 + 4369 π 4 5806080 z 9 + 34807 π 5 182476800 z 11 + ⋯ ) {\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right)\,\!} なお、誤差関数の正と負の無限大での値はそれぞれ正と負の 1 {\displaystyle 1} となる。
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逆関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/01 05:45 UTC 版)
「三角関数の公式の一覧」の記事における「逆関数」の解説
三角関数の逆関数を逆三角関数と言う。日本語においては逆正弦関数のように頭に「逆」を付けて呼ぶ。式中では sin−1 のように右肩に "−1" を付けるか asin, arcsin のように "a" または "arc" を付ける。このarcは弧という意味がある。 この記事では逆関数として以下の表記を採用する： 関数sin cos tan sec csc cot 逆関数arcsin arccos arctan arcsec arccsc arccot 三角関数は周期関数なので、逆関数は多価関数である。 逆関数の性質から以下が成り立つ： sin ( arcsin x ) = x , {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x,\!} arcsin ( sin θ ) = θ for − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2. {\displaystyle \arcsin(\sin \theta )=\theta \quad {\text{for }}-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.}
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逆関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/22 05:41 UTC 版)
ヤコビの楕円関数の逆関数は逆三角関数と同様のやり方で定義される。 x = s n ( ξ , k ) {\displaystyle x=\mathrm {sn} (\xi ,k)} に対して、 ξ = a r c s n ( x , k ) {\displaystyle \xi =\mathrm {arcsn} (x,k)} である。これらの逆関数は楕円積分で表すことができる。また、冪級数でも表現できる。
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