証明の第三段階
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/19 06:33 UTC 版)
「ケルビン・ストークスの定理」の記事における「証明の第三段階」の解説
本節では、以下の等式を示す。 ∬ S ∇ × F d S = ∬ D ( ∂ P 2 ∂ u − ∂ P 1 ∂ v ) d u d v {\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} d\mathbb {S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}-{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}\right)dudv} 上式は、主定理の右辺を、グリーンの定理に帰着する過程に他ならない。 まず、 ∂ P 1 ∂ v {\displaystyle {\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}} , ∂ P 2 ∂ u {\displaystyle {\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}} を内積の微分を考慮して計算する。計算過程は以下に示すとおりである。 ∂ P 1 ∂ v = ⟨ ∂ ( F ∘ ψ ) ∂ v | ∂ ψ ∂ u ⟩ + ⟨ F ∘ ψ | ∂ 2 ψ ∂ v ∂ u ⟩ ∂ P 2 ∂ u = ⟨ ∂ ( F ∘ ψ ) ∂ u | ∂ ψ ∂ v ⟩ + ⟨ F ∘ ψ | ∂ 2 ψ ∂ u ∂ v ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial v}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle +\left\langle \mathbf {F} \circ \psi \ |\ {\frac {{\partial }^{2}\psi }{\partial v\partial u}}\right\rangle \\&{\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial u}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle +\left\langle \mathbf {F} \circ \psi \ |\ {\frac {{\partial }^{2}\psi }{\partial u\partial v}}\right\rangle \end{aligned}}} 従って、 ∂ P 1 ∂ v − ∂ P 2 ∂ u = ⟨ ∂ ( F ∘ ψ ) ∂ v | ∂ ψ ∂ u ⟩ − ⟨ ∂ ( F ∘ ψ ) ∂ u | ∂ ψ ∂ v ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}-{\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial v}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle -\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial u}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle } が分かる。さらに、合成関数の微分を考慮すると、以下の2つの式が得られる。 ∂ ( F ∘ ψ ) ∂ u = ( J F ) ψ ( u , v ) ⋅ ∂ ψ ∂ u ∂ ( F ∘ ψ ) ∂ v = ( J F ) ψ ( u , v ) ⋅ ∂ ψ ∂ v {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial u}}={(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\\&{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial v}}={(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\end{aligned}}} さらに、内積の多重線形性を考慮すると、 ∂ P 1 ∂ v − ∂ P 2 ∂ u = ⟨ ( J F ) ψ ( u , v ) ⋅ ∂ ψ ∂ v | ∂ ψ ∂ u ⟩ − ⟨ ( J F ) ψ ( u , v ) ⋅ ∂ ψ ∂ u | ∂ ψ ∂ v ⟩ = ⟨ ∂ ψ ∂ u | ( J F ) ψ ( u , v ) | ∂ ψ ∂ v ⟩ − ⟨ ∂ ψ ∂ u | t ( J F ) ψ ( u , v ) | ∂ ψ ∂ v ⟩ = ⟨ ∂ ψ ∂ u | ( J F ) ψ ( u , v ) − t ( J F ) ψ ( u , v ) | ∂ ψ ∂ v ⟩ = ⟨ ∂ ψ ∂ u | ( ( J F ) ψ ( u , v ) − t ( J F ) ψ ( u , v ) ) ⋅ ∂ ψ ∂ v ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}-{\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}&=\left\langle {(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle -\left\langle {(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}|{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle -\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}|{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}-{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}|{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |({(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}-{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)})\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \end{aligned}}} ここで、 t ( J F ) ψ ( u , v ) {\displaystyle {}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}} は ( J F ) ψ ( u , v ) {\displaystyle {(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}} の転置行列を意味し、 ⟨ | A | ⟩ {\displaystyle \langle \ |A|\ \rangle } は n × m {\displaystyle n\times m} 行列 A が定める二次形式、即ち ⟨ x | A | y ⟩ = t x A y , x ∈ R m , y ∈ R n {\displaystyle \left\langle \mathbf {x} |A|\mathbf {y} \right\rangle ={}^{t}\mathbf {x} A\mathbf {y} ,\quad \mathbf {x} \in {\mathbb {R} }^{m}\ ,\mathbf {y} \in {\mathbb {R} }^{n}} を意味する。 さらに、以下の事実を考慮し、 ( ( J F ) ψ ( u , v ) − t ( J F ) ψ ( u , v ) ) x = ( ∇ × F ) × x , for all x ∈ R 3 {\displaystyle ({(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}-{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)})\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}} さらに、スカラー三重積を考慮すると、以下の等式を得る。 ∂ P 1 ∂ v − ∂ P 2 ∂ u = ⟨ ∂ ψ ∂ u | ( ∇ × F ) × ∂ ψ ∂ v ⟩ = det [ ( ∇ × F ) ( ψ ( u , v ) ) ∂ ψ ∂ u ( u , v ) ∂ ψ ∂ v ( u , v ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}-{\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |(\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\det {\begin{bmatrix}(\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v))&{\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)&{\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}} 一方で、面積分の定義から ∬ S ( ∇ × F ) d S = ∬ D ⟨ ( ( ∇ × F ) ( ψ ( u , v ) ) | ∂ ψ ∂ u ( u , v ) × ∂ ψ ∂ v ( u , v ) ⟩ d u d v {\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }(\nabla \times \mathbf {F} )d\mathbb {S} =\iint _{D}\left\langle ((\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\right\rangle dudv} が成り立つ。さらにスカラー三重積を考慮すると、以下を得る． ⟨ ( ( ∇ × F ) ( ψ ( u , v ) ) ) | ∂ ψ ∂ u ( u , v ) × ∂ ψ ∂ v ( u , v ) ⟩ = det [ ( ∇ × F ) ( ψ ( u , v ) ) ) ∂ ψ ∂ u ( u , v ) ∂ ψ ∂ v ( u , v ) ] {\displaystyle \left\langle ((\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v)))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\right\rangle =\det {\begin{bmatrix}(\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v)))&{\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)&{\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\\\end{bmatrix}}} 従って、以下の等式が成り立つ。 ∬ S ( ∇ × F ) d S = ∬ D ( ∂ P 2 ∂ u − ∂ P 1 ∂ v ) d u d v {\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }(\nabla \times \mathbf {F} )d\mathbb {S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}-{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}\right)dudv}
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