証明の第二段階
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/19 06:33 UTC 版)
「ケルビン・ストークスの定理」の記事における「証明の第二段階」の解説
本節では以下の等式を示す。 ∮ Γ F d Γ = ∮ γ ( F ∘ ψ ) d γ {\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\mathbf {F} d\Gamma ={\oint }_{\gamma }(\mathbf {F} \circ \psi )d\gamma } 上記の等式の証明は、主定理の左辺をグリーンの定理に帰着する過程に他ならない。 線積分の定義より、以下が成り立つ。 ∮ Γ F d Γ = ∫ a b ⟨ ( F ∘ c ( t ) ) | d Γ d t ( t ) ⟩ d t {\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\mathbf {F} d\Gamma ={\int }_{a}^{b}\left\langle (\mathbf {F} \circ c(t))\ |\ {\frac {d\Gamma }{dt}}(t)\right\rangle dt} ここで、上式左辺の被積分関数は R {\displaystyle \mathbb {R} } に値をとる t についての一変数関数であることに注意されたい。 合成関数の微分を考えると、 d Γ d t ( t ) = d ( ψ ∘ γ ) d t ( t ) = ( J ψ ) γ ( t ) ⋅ d γ d t ( t ) {\displaystyle {\frac {d\Gamma }{dt}}(t)={\frac {d(\psi \circ \gamma )}{dt}}(t)={(J\psi )}_{\gamma (t)}\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(t)} が成り立つ。ここで、 J ψ {\displaystyle J\psi } は ψ {\displaystyle \psi } のヤコビ行列を意味する。 従って、以下が成り立つ。 ⟨ ( F ∘ Γ ( t ) ) | d Γ d t ( t ) ⟩ = ⟨ ( F ∘ Γ ( t ) ) | ( J ψ ) γ ( t ) d γ d t ( t ) ⟩ = ⟨ ( F ∘ Γ ( t ) ) | ( J ψ ) γ ( t ) | d γ d t ( t ) ⟩ = ⟨ ( ⟨ ( F ( ψ ( γ ( t ) ) ) ) | ∂ ψ ∂ u ( γ ( t ) ) ⟩ , ⟨ ( F ( ψ ( γ ( t ) ) ) ) | ∂ ψ ∂ v ( γ ( t ) ) ⟩ ) | d γ d t ( t ) ⟩ = ⟨ ( P 1 ( u , v ) , P 2 ( u , v ) ) | d γ d t ( t ) ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle (\mathbf {F} \circ \Gamma (t))\ |\ {\frac {d\Gamma }{dt}}(t)\right\rangle &=\left\langle (\mathbf {F} \circ \Gamma (t))\ |\ {(J\psi )}_{\gamma (t)}{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle (\mathbf {F} \circ \Gamma (t))\ |{(J\psi )}_{\gamma (t)}|\ {\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle \left(\left\langle (\mathbf {F} (\psi (\gamma (t))))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}(\gamma (t))\right\rangle ,\left\langle (\mathbf {F} (\psi (\gamma (t))))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}(\gamma (t))\right\rangle \right)|{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle ({P}_{1}(u,v),{P}_{2}(u,v))\ |\ {\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \end{aligned}}} 従って、以下の等式を得る。 ∮ Γ F d Γ = ∮ γ ( F ∘ ψ ) d γ {\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\mathbf {F} d\Gamma ={\oint }_{\gamma }(\mathbf {F} \circ \psi )d\gamma }
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