複二次式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/03 04:19 UTC 版)
四次方程式の内奇数次の項が無い a4 x4 + a2 x2 + a0 = 0 (a4 ≠ 0) の形の式は x2 を変数とする二次方程式と見ることができ、複二次方程式 (biquadratic equation)、左辺は複二次式と呼ばれる。二次方程式の解法を知っていれば簡単に解くことができる。 y = x2 と変換することで y に関する二次方程式 a4 y2 + a2 y + a0 = 0 を得ることができ、この二次方程式を解くことによって解を求められる。 また、実数を係数とする複二次式 x4 + A2 x2 + A0 に対して、次のような二次式の積への因数分解もよく行われる。x2 の二次方程式とみたときの判別式 D = A22 − 4A0 の符号によって D > 0 であれば x2 について平方完成することにより x 4 + A 2 x 2 + A 0 = ( x 2 + A 2 2 ) 2 − A 2 2 − 4 A 0 4 {\displaystyle x^{4}+A_{2}x^{2}+A_{0}=\left(x^{2}+{A_{2} \over 2}\right)^{2}-{\frac {{A_{2}}^{2}-4A_{0}}{4}}} D < 0 であれば A0 > 0 であることに注意して x 4 + A 2 x 2 + A 0 = ( x 2 + A 0 ) 2 − ( 2 A 0 − A 2 ) x 2 {\displaystyle x^{4}+A_{2}x^{2}+A_{0}=\left(x^{2}+{\sqrt {A_{0}}}\right)^{2}-\left(2{\sqrt {A_{0}}}-A_{2}\right)x^{2}} と変形すれば、いずれの場合も因数分解の公式 α2 − β2 = (α + β) (α − β) を利用して実数を係数とする二次式の積に因数分解できる。
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