等距対称性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 08:22 UTC 版)
「ポワンカレの上半平面モデル」の記事における「等距対称性」の解説
射影特殊線型群 PSL(2, R) の H への群作用は ( a b c d ) ⋅ z = a z + b c z + d = ( a c | z | 2 + b d + ( a d + b c ) ℜ ( z ) ) + i ℑ ( z ) | c z + d | 2 {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i\Im (z)}{|cz+d|^{2}}}} で定義される。この作用が推移的、つまり H の元 z1, z2 が任意に与えられるとき常に PSL(2, R) の適当な元 g を選んで gz1 = z2 とすることができること、およびこの作用が忠実、つまり H のいかなる元 z に対しても gz = z を満たすならば g = e であることに注意。 この作用に関する H の元 z の安定部分群あるいは等方部分群 とは z を不動にする、すなわち gz = z を満たすような PSL(2, R) の元 g 全体のなす集合を言う。このとき、i の安定部分群は回転群 S O ( 2 ) = { ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) : θ ∈ R } {\displaystyle {\mathit {SO}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}:\theta \in {\mathbf {R} }\right\}} である。H の元 z はいずれも PSL(2, R) の元で i に写されるから、これは任意の z の等方部分群が SO(2) に同型となることを意味しており、したがって H = PSL(2,R)/SO(2) が成立する。言い換えれば、単位接束と呼ばれる上半平面上の単位接ベクトル全体の成す束は PSL(2, R) に同型であるということである。 上辺平面はモジュラー群 SL(2, Z) によって自由正規集合（英語版） に分割される。
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