無平方分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/16 01:05 UTC 版)
詳細は「無平方多項式（英語版）」を参照 多項式のふたつ以上の因子が互いに一致する場合を考えると、すなわちその多項式はこの因子の平方（平方因子）で割り切れるということになる。一変数多項式の場合だと、そのような因子（多重因子）を与える根は重根と定義される。またこの場合、その多重因子はもとの多項式の導多項式（多変数の場合は、どの変数に関する微分でも）の因子になる。有理数体（あるいはより一般に標数 0 の任意の体）上の一変数多項式の場合、David Yun による無平方分解アルゴリズム（英語版）を用いて、多項式を平方因子を含まない形（而してそれを無平方と言う）に因数分解する方法が実証される。もとの多項式を分解するためには、この各無平方因子の分解を与えれば十分である。したがって、無平方分解はたいていの多項式の因数分解アルゴリズムの緒段となる。 Yun のアルゴリズムは、多変数多項式を多項式環上の一変数多項式と見ることにより、多変数多項式の場合にも拡張することができる。 有限体上の多項式の場合には、Yun のアルゴリズムは多項式の次数が係数体の標数より小さい場合にのみ適用可能である（これは、そうでない場合には非零多項式の導多項式が零多項式となる場合があることによる。例えば p-元体上で冪函数 xp の導多項式は常に零である）。それでも、多項式とその導多項式の間のGCD計算があれば無平方分解は得られる（有限体上の多項式の因数分解#無平方分解（英語版）の項を見よ）。
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