準長距離秩序
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 04:30 UTC 版)
「ベレジンスキー＝コステリッツ＝サウレス転移」の記事における「準長距離秩序」の解説
2次元XY模型のハミルトニアンを H = − J ∑ ⟨ i , j ⟩ S i ⋅ S j = − J ∑ ⟨ i , j ⟩ cos ( θ i − θ j ) {\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {S} _{j}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\cos(\theta _{i}-\theta _{j})} とする。ここで、Jは相互作用の強さを表す定数、 S i = ( cos θ i , sin θ i ) {\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{i}=(\cos {\theta _{i}},\sin {\theta _{i}})} は2成分のスピンベクトル、θiは2次元空間でスピンの向きを指定する角度である。 この模型において、ゆらぎを持つスピン S i {\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{i}} と S j {\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{j}} についての相関関数は以下のように定義される。 G ( r i − r j ) = ⟨ S i ⋅ S j ⟩ = ⟨ cos ( θ i − θ j ) ⟩ = ⟨ e i ( θ i − θ j ) ⟩ {\displaystyle G({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j})=\langle {\boldsymbol {S}}_{i}\cdot {\boldsymbol {S}}_{j}\rangle =\langle \cos(\theta _{i}-\theta _{j})\rangle =\langle e^{i(\theta _{i}-\theta _{j})}\rangle } ここで、 r i {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}} はi番目のスピンの位置である。最後の等式は、虚数部分の熱平均がゼロとなることを用いている。 高温領域の振る舞いは、高温展開を用いて調べることができる。このとき、相関関数はスピン間の距離rの関数として指数関数的に減少することが示される。 G ( r i − r j ) ∼ exp ( − r log 2 β J ) {\displaystyle G({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j})\sim \exp \left(-r\log {\frac {2}{\beta J}}\right)} ここで、βは逆温度である。 一方、低温領域については、スピン波近似を用いて計算される。系が十分低温である場合、各スピンのゆらぎは小さくなり、隣接するスピン同士の向きはほとんど同じとみなすことができる。このような近似のもとで、相関関数は G ( r i − r j ) ∼ ( 1 r ) 1 / 2 π β J {\displaystyle G({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j})\sim \left({\frac {1}{r}}\right)^{1/2\pi \beta J}} となる。この式は距離rに反比例する減少関数となっている。 通常の相転移では、秩序相であれば長距離秩序が存在し相関関数は減衰せず、無秩序相であれば相関関数は指数関数的に減衰する。つまり2次元XY模型の低温領域における相関は、距離が離れるにつれてゆっくりと減衰するような特殊な秩序を持っている。このような秩序は準長距離秩序と呼ばれる。
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