準同型と根
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/19 00:12 UTC 版)
L を K の拡大体とする。上で見たように、P の任意の根 α が、L に含まれる P の根体 K(α) に対応する。相異なる二つの根に同じ根体が対応し得るが、各根に対して一意に K[X]/(P) から L への（したがって、L に含まれる根体への）体の準同型が定まる。故に、L に含まれる P の根の全体と K[X]/(P) から L への準同型の全体は一対一に対応する。 特に、P の次数が n ならば、K[X]/(P) から L への準同型は高々 n 個存在する。P が L において一次式の積に分解し、全ての単根が L に属するならば、K[X]/(P) から L への準同型はちょうど n 個存在する。 K 上の多項式が分離的であるとは、それが K の代数閉包において重根を持たないこと（あるいは同じことだが、その一階導多項式（英語版）と共通根を持たないこと）を言う。次数 n の既約多項式 P が分離的ならば、K から K の代数閉包への（あるいは L または P が一次式の積に分解する任意の体への）準同型はちょうど n 個存在する。完全体上任意の既約多項式は分離的である。例えば、有理数体、実数体、一般に標数 0 の任意の体はそうであるが、任意の有限体はそうでない（分離拡大の項を参照）。
※この「準同型と根」の解説は、「根体」の解説の一部です。
「準同型と根」を含む「根体」の記事については、「根体」の概要を参照ください。
ウィキペディア小見出し辞書の「準同型と根」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。
お問い合わせ。
- 準同型と根のページへのリンク
