準同型の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/28 02:02 UTC 版)
「チャーン・ヴェイユ準同型」の記事における「準同型の定義」の解説
P の中の任意の接続形式 ω を選び、 Ω {\displaystyle \Omega } を ω についての曲率 2-形式とする。 f ∈ K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} が次数 k の同次多項式として、 f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )} を f ( Ω ) ( X 1 , … , X 2 k ) = 1 ( 2 k ) ! ∑ σ ∈ S 2 k ϵ σ f ( Ω ( X σ ( 1 ) , X σ ( 2 ) ) , … , Ω ( X σ ( 2 k − 1 ) , X σ ( 2 k ) ) ) {\displaystyle f(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))} で与えられる P 上の 2k-形式とする。ここに ϵ σ {\displaystyle \epsilon _{\sigma }} は 2k 個の対称群 S 2 k {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}} の置換の符号 σ {\displaystyle \sigma } である。 (パフィアン参照)。 すると次のことが示される。 f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )} は閉形式であり、 d f ( Ω ) = 0 , {\displaystyle df(\Omega )=0,\,} で、ド・ラームコホモロジー類 f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )\,} は P の接続の選択に依存しないので、主バンドルにのみ依存する。 このようにして f から得られるコホモロジー類 ϕ ( f ) {\displaystyle \phi (f)\,} について、代数（環）準同型 ϕ : K ( g ∗ ) A d ( G ) → H ∗ ( M , K ) . {\displaystyle \phi :\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}\rightarrow H^{*}(M,\mathbb {K} ).\,} を得る。
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