比較判定法

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比較判定法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/02/28 23:08 UTC 版)

比較判定法（ひかくはんていほう、英: comparison test）は、実数や複素数を項にもつ級数が、収束するか発散するかを判定する方法である。これは、判定の対象となる級数の項を、収束性が判明している級数の項と比較することによって、収束性を判断する。比較判定法には、2 つの種類が存在する。

第一種比較判定法

第一種比較判定法とは、次のようなものである。もし、級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

が絶対収束し、n に依存しない実数 C が存在して

${\displaystyle |a_{n}|\leq C|b_{n}|}$

が十分大きい n に対して成立するならば、級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

は絶対収束する。このとき、b が a を「抑える(dominate)」という。もし、級数 Σ|b_n| が発散し、

${\displaystyle |a_{n}|\geq |b_{n}|}$

が十分大きい n に対して成立するならば、級数 Σ|a_n| は絶対収束しない（ただし、例えば a_n の符号が交互に入れ替わるような場合は、条件収束することがある）。

第二種比較判定法

第二種比較判定法とは、次のようなものである。もし、級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

が絶対収束し、n に依存しない実数 C が存在して

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq C\,\left|{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right|}$

が十分大きい n に対して成立するならば、級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

は絶対収束する。もし、級数 Σ|b_n| が発散し、

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq \left|{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right|}$

が十分大きい n に対して成立するならば、級数 Σ|a_n| は絶対収束しない（ただし、例えば a_n の符号が交互に入れ替わるような場合は、条件収束することがある）。

これは、ダランベールの収束判定法に基づくものである。

参考文献

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.1) ISBN 0486601536

• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.34) ISBN 0521588073

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