正三十一角形とは? わかりやすく解説

正三十一角形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/10 21:59 UTC 版)

三十一角形」の記事における「正三十一角形」の解説

正三十一角形においては中心角外角は11.612…°で、内角は168.387…°となる。一辺長さが a の正三十一角形の面積 S は S = 31 4 a 2 cot ⁡ π 31 ≃ 76.21197 a 2 {\displaystyle S={\frac {31}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{31}}\simeq 76.21197a^{2}} cos ⁡ ( 2 π / 31 ) {\displaystyle \cos(2\pi /31)} は五次方程式三次方程式を解くことにより求められるz 5 = 1 {\displaystyle z^{5}=1} の複素数解を σ , σ 2 , σ 3 , σ 4 {\displaystyle \sigma ,\sigma ^{2},\sigma ^{3},\sigma ^{4}} として 以下には、中間結果五次方程式1回解いた際の関係式)を示す。 x 1 = 2 cos ⁡ 2 π 31 + 2 cos10 π 31 + 2 cos12 π 31 = − 1 + λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 5 x 2 = 2 cos ⁡ 4 π 31 + 2 cos20 π 31 + 2 cos24 π 31 = − 1 + λ 1 σ 4 + λ 2 σ 3 + λ 3 σ 2 + λ 4 σ 5 x 3 = 2 cos ⁡ 8 π 31 + 2 cos22 π 31 + 2 cos14 π 31 = − 1 + λ 1 σ 3 + λ 2 σ + λ 3 σ 4 + λ 4 σ 2 5 x 4 = 2 cos16 π 31 + 2 cos18 π 31 + 2 cos28 π 31 = − 1 + λ 1 σ 2 + λ 2 σ 4 + λ 3 σ + λ 4 σ 3 5 x 5 = 2 cos ⁡ 6 π 31 + 2 cos26 π 31 + 2 cos30 π 31 = − 1 + λ 1 σ + λ 2 σ 2 + λ 3 σ 3 + λ 4 σ 4 5 {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{31}}+2\cos {\frac {10\pi }{31}}+2\cos {\frac {12\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}+\lambda _{4}}{5}}\,\\&x_{2}=2\cos {\frac {4\pi }{31}}+2\cos {\frac {20\pi }{31}}+2\cos {\frac {24\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{4}+\lambda _{2}\sigma ^{3}+\lambda _{3}\sigma ^{2}+\lambda _{4}\sigma }{5}}\,\\&x_{3}=2\cos {\frac {8\pi }{31}}+2\cos {\frac {22\pi }{31}}+2\cos {\frac {14\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{3}+\lambda _{2}\sigma +\lambda _{3}\sigma ^{4}+\lambda _{4}\sigma ^{2}}{5}}\,\\&x_{4}=2\cos {\frac {16\pi }{31}}+2\cos {\frac {18\pi }{31}}+2\cos {\frac {28\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{2}+\lambda _{2}\sigma ^{4}+\lambda _{3}\sigma +\lambda _{4}\sigma ^{3}}{5}}\,\\&x_{5}=2\cos {\frac {6\pi }{31}}+2\cos {\frac {26\pi }{31}}+2\cos {\frac {30\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma +\lambda _{2}\sigma ^{2}+\lambda _{3}\sigma ^{3}+\lambda _{4}\sigma ^{4}}{5}}\,\\\end{aligned}}} ここで λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4}} は λ 1 = 31 ( 36 σ + 201 σ 2 + 66 σ 3 + 106 σ 4 ) 5 λ 2 = 31 ( 36 σ 2 + 201 σ 4 + 66 σ + 106 σ 3 ) 5 λ 3 = 31 ( 36 σ 3 + 201 σ + 66 σ 4 + 106 σ 2 ) 5 λ 4 = 31 ( 36 σ 4 + 201 σ 3 + 66 σ 2 + 106 σ ) 5 {\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{1}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma +201\sigma ^{2}+66\sigma ^{3}+106\sigma ^{4})}}\,\\&\lambda _{2}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{2}+201\sigma ^{4}+66\sigma +106\sigma ^{3})}}\,\\&\lambda _{3}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{3}+201\sigma +66\sigma ^{4}+106\sigma ^{2})}}\,\\&\lambda _{4}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{4}+201\sigma ^{3}+66\sigma ^{2}+106\sigma )}}\,\\\end{aligned}}} cos ⁡ ( 2 π / 31 ) {\displaystyle \cos(2\pi /31)} は x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} を用いた以下の三次方程式の解の一つである。 u 3x 1 2 u 2 + x 1 + x 3 4 u − x 2 + 2 8 = 0 {\displaystyle u^{3}-{\frac {x_{1}}{2}}u^{2}+{\frac {x_{1}+x_{3}}{4}}u-{\frac {x_{2}+2}{8}}=0} 変数変換 v = u + x 1 6 {\displaystyle v=u+{\frac {x_{1}}{6}}} 整理するv 3 − 6 − x 1 + x 2 − x 3 12 v − 24 − 6 x 1 + 12 x 2 − 6 x 3 − 3 x 4 − x 5 216 = 0 {\displaystyle v^{3}-{\frac {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}{12}}v-{\frac {24-6x_{1}+12x_{2}-6x_{3}-3x_{4}-x_{5}}{216}}=0} 三角関数逆三角関数用いた解は cos ⁡ 2 π 31 = x 1 6 + 1 3 6 − x 1 + x 2 − x 3 ⋅ cos ⁡ ( 1 3 arccos24 − 6 x 1 + 12 x 2 − 6 x 3 − 3 x 4 − x 5 2 ( 6 − x 1 + x 2 − x 3 ) 3 2 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{31}}={\frac {x_{1}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {24-6x_{1}+12x_{2}-6x_{3}-3x_{4}-x_{5}}{2(6-x_{1}+x_{2}-x_{3})^{\frac {3}{2}}}}\right)} 上記三次方程式変形するv 3 − 6 − x 1 + x 2 − x 3 12 v − ( 6 − x 1 + x 2 − x 3 ) ( 12910 x 1 + 81 x 2 − 48 x 3 − 30 x 4 ) 21667 = 0 {\displaystyle v^{3}-{\frac {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}{12}}v-{\frac {(6-x_{1}+x_{2}-x_{3})(129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4})}{216\cdot 67}}=0} 三角関数逆三角関数用いた解は cos ⁡ 2 π 31 = x 1 6 + 1 3 6 − x 1 + x 2 − x 3 ⋅ cos ⁡ ( 1 3 arccos12910 x 1 + 81 x 2 − 48 x 3 − 30 x 4 134 6 − x 1 + x 2 − x 3 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{31}}={\frac {x_{1}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}\right)} 平方根立方根で表すと cos ⁡ 2 π 31 = x 1 6 + 6 − x 1 + x 2 − x 3 6 12910 x 1 + 81 x 2 − 48 x 3 − 30 x 4 134 6 − x 1 + x 2 − x 3 + i 27 ( 1091 − 96 x 1 − 348 x 2 − 367 x 3 + 114 x 4 ) 134 6 − x 1 + x 2 − x 3 3 + 6 − x 1 + x 2 − x 3 6 12910 x 1 + 81 x 2 − 48 x 3 − 30 x 4 134 6 − x 1 + x 2 − x 3 − i 27 ( 1091 − 96 x 1 − 348 x 2 − 367 x 3 + 114 x 4 ) 134 6 − x 1 + x 2 − x 3 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{31}}={\frac {x_{1}}{6}}+{\frac {\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}+i{\frac {\sqrt {27(1091-96x_{1}-348x_{2}-367x_{3}+114x_{4})}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}}}\\+{\frac {\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}-i{\frac {\sqrt {27(1091-96x_{1}-348x_{2}-367x_{3}+114x_{4})}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}}}\end{aligned}}}

※この「正三十一角形」の解説は、「三十一角形」の解説の一部です。
「正三十一角形」を含む「三十一角形」の記事については、「三十一角形」の概要を参照ください。

ウィキペディア小見出し辞書の「正三十一角形」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。 お問い合わせ



英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「正三十一角形」の関連用語

正三十一角形のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



正三十一角形のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL).
Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaの三十一角形 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

©2024 GRAS Group, Inc.RSS