正三十七角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 22:00 UTC 版)
正三十七角形においては、中心角と外角は9.729…°で、内角は170.27…°となる。一辺の長さが a の正三十七角形の面積 S は S = 37 4 a 2 cot π 37 ≃ 108.67963 a 2 {\displaystyle S={\frac {37}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{37}}\simeq 108.67963a^{2}} cos ( 2 π / 37 ) {\displaystyle \cos(2\pi /37)} を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式→三次方程式（2つ）→二次方程式と解く必要がある。 以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す。 λ 1 = 2 cos 2 π 37 + 2 cos 12 π 37 + 2 cos 16 π 37 + 2 cos 20 π 37 + 2 cos 22 π 37 + 2 cos 28 π 37 = − 1 3 + 37 3 − 11 + 3 3 i 2 37 3 ω 2 + 37 3 − 11 − 3 3 i 2 37 3 ω λ 2 = 2 cos 4 π 37 + 2 cos 18 π 37 + 2 cos 24 π 37 + 2 cos 30 π 37 + 2 cos 32 π 37 + 2 cos 34 π 37 = − 1 3 + 37 3 − 11 + 3 3 i 2 37 3 ω + 37 3 − 11 − 3 3 i 2 37 3 ω 2 λ 3 = 2 cos 6 π 37 + 2 cos 8 π 37 + 2 cos 10 π 37 + 2 cos 14 π 37 + 2 cos 26 π 37 + 2 cos 36 π 37 = − 1 3 + 37 3 − 11 + 3 3 i 2 37 3 + 37 3 − 11 − 3 3 i 2 37 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&2\cos {\frac {2\pi }{37}}+2\cos {\frac {12\pi }{37}}+2\cos {\frac {16\pi }{37}}+2\cos {\frac {20\pi }{37}}+2\cos {\frac {22\pi }{37}}+2\cos {\frac {28\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega ^{2}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega \\\lambda _{2}=&2\cos {\frac {4\pi }{37}}+2\cos {\frac {18\pi }{37}}+2\cos {\frac {24\pi }{37}}+2\cos {\frac {30\pi }{37}}+2\cos {\frac {32\pi }{37}}+2\cos {\frac {34\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega +{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega ^{2}\\\lambda _{3}=&2\cos {\frac {6\pi }{37}}+2\cos {\frac {8\pi }{37}}+2\cos {\frac {10\pi }{37}}+2\cos {\frac {14\pi }{37}}+2\cos {\frac {26\pi }{37}}+2\cos {\frac {36\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\\\end{aligned}}} 各式を3つの組に分ける。 cos k π 37 {\displaystyle \cos {\frac {k\pi }{37}}} と cos 2 9 k π 37 ( = cos − 6 k π 37 ) {\displaystyle \cos {\frac {2^{9}k\pi }{37}}\left(=\cos {\frac {-6k\pi }{37}}\right)} λ 1 = ( 2 cos 2 π 37 + 2 cos 12 π 37 ) + ( 2 cos 20 π 37 + 2 cos 28 π 37 ) + ( 2 cos 16 π 37 + 2 cos 22 π 37 ) = u 1 + u 2 + u 3 λ 2 = ( 2 cos 4 π 37 + 2 cos 24 π 37 ) + ( 2 cos 30 π 37 + 2 cos 32 π 37 ) + ( 2 cos 18 π 37 + 2 cos 34 π 37 ) = v 1 + v 2 + v 3 λ 3 = ( 2 cos 10 π 37 + 2 cos 14 π 37 ) + ( 2 cos 6 π 37 + 2 cos 36 π 37 ) + ( 2 cos 8 π 37 + 2 cos 26 π 37 ) = w 1 + w 2 + w 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\left(2\cos {\frac {2\pi }{37}}+2\cos {\frac {12\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {20\pi }{37}}+2\cos {\frac {28\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {16\pi }{37}}+2\cos {\frac {22\pi }{37}}\right)=u_{1}+u_{2}+u_{3}\\\lambda _{2}=&\left(2\cos {\frac {4\pi }{37}}+2\cos {\frac {24\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {30\pi }{37}}+2\cos {\frac {32\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {18\pi }{37}}+2\cos {\frac {34\pi }{37}}\right)=v_{1}+v_{2}+v_{3}\\\lambda _{3}=&\left(2\cos {\frac {10\pi }{37}}+2\cos {\frac {14\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {6\pi }{37}}+2\cos {\frac {36\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {8\pi }{37}}+2\cos {\frac {26\pi }{37}}\right)=w_{1}+w_{2}+w_{3}\\\end{aligned}}} 和積公式で変形する。また、 cos ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta } の関係を使って変形する。 λ 1 = ( 2 cos 30 π 37 ⋅ 2 cos 32 π 37 ) + ( 2 cos 4 π 37 ⋅ 2 cos 24 π 37 ) + ( 2 cos 18 π 37 ⋅ 2 cos 34 π 37 ) = u 1 + u 2 + u 3 λ 2 = ( 2 cos 10 π 37 ⋅ 2 cos 14 π 37 ) + ( 2 cos 6 π 37 ⋅ 2 cos 36 π 37 ) + ( 2 cos 8 π 37 ⋅ 2 cos 26 π 37 ) = v 1 + v 2 + v 3 λ 3 = ( 2 cos 2 π 37 ⋅ 2 cos 12 π 37 ) + ( 2 cos 16 π 37 ⋅ 2 cos 22 π 37 ) + ( 2 cos 20 π 37 ⋅ 2 cos 28 π 37 ) = w 1 + w 2 + w 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\left(2\cos {\frac {30\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {32\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {4\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {24\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {18\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{37}}\right)=u_{1}+u_{2}+u_{3}\\\lambda _{2}=&\left(2\cos {\frac {10\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {6\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {36\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {8\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {26\pi }{37}}\right)=v_{1}+v_{2}+v_{3}\\\lambda _{3}=&\left(2\cos {\frac {2\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {12\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {16\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {20\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {28\pi }{37}}\right)=w_{1}+w_{2}+w_{3}\\\end{aligned}}} 解と係数の関係を使って二次方程式を解くと cos 2 π 37 = u 1 + u 1 2 − 4 w 1 4 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{37}}={\frac {u_{1}+{\sqrt {u_{1}^{2}-4w_{1}}}}{4}}} ここで、 u 1 , w 1 {\displaystyle u_{1},w_{1}} は以下の三次方程式の解である。 u 3 − λ 1 u 2 + ( λ 2 − 1 ) u + ( λ 1 − 2 ) = 0 {\displaystyle u^{3}-\lambda _{1}u^{2}+(\lambda _{2}-1)u+(\lambda _{1}-2)=0} w 3 − λ 3 w 2 + ( λ 1 − 1 ) w + ( λ 3 − 2 ) = 0 {\displaystyle w^{3}-\lambda _{3}w^{2}+(\lambda _{1}-1)w+(\lambda _{3}-2)=0} 三角関数、逆三角関数を用いた解は u 1 = λ 1 3 + 2 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 3 ⋅ cos ( 1 3 arccos 111 − 4 λ 1 − 9 λ 2 62 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 ) {\displaystyle u_{1}={\frac {\lambda _{1}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}{3}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {111-4\lambda _{1}-9\lambda _{2}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}\right)} w 1 = λ 3 3 + 2 11 − 2 λ 3 − 2 λ 1 3 ⋅ cos ( 1 3 arccos 111 − 4 λ 3 − 9 λ 1 62 11 − 2 λ 3 − 2 λ 1 ) {\displaystyle w_{1}={\frac {\lambda _{3}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}{3}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {111-4\lambda _{3}-9\lambda _{1}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}\right)} 平方根、立方根で表すと u 1 = λ 1 3 + 2 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 3 111 − 4 λ 1 − 9 λ 2 62 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 + i 27 ( 1092 − 253 λ 1 − 205 λ 2 ) 62 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 3 + 2 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 3 111 − 4 λ 1 − 9 λ 2 62 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 − i 27 ( 1092 − 253 λ 1 − 205 λ 2 ) 62 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 3 {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}={\frac {\lambda _{1}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{1}-9\lambda _{2}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}+i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{1}-205\lambda _{2})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}}}\\+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{1}-9\lambda _{2}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}-i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{1}-205\lambda _{2})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}}}\end{aligned}}} w 1 = λ 3 3 + 2 11 − 2 λ 3 − 2 λ 1 3 111 − 4 λ 3 − 9 λ 1 62 11 − 2 λ 3 − 2 λ 1 + i 27 ( 1092 − 253 λ 3 − 205 λ 1 ) 62 11 − 2 λ 3 − 2 λ 1 3 + 2 11 − 2 λ 3 − 2 λ 1 3 111 − 4 λ 3 − 9 λ 1 62 11 − 2 λ 3 − 2 λ 1 − i 27 ( 1092 − 253 λ 3 − 205 λ 1 ) 62 11 − 2 λ 3 − 2 λ 1 3 {\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}={\frac {\lambda _{3}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{3}-9\lambda _{1}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}+i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{3}-205\lambda _{1})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}}}\\+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{3}-9\lambda _{1}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}-i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{3}-205\lambda _{1})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}}}\end{aligned}}}
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