正三十三角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/11 15:05 UTC 版)
正三十三角形においては、中心角と外角は10.909…°で、内角は169.09…°となる。一辺の長さが a の正三十三角形の面積 S は S = 33 4 a 2 cot π 33 ≃ 86.39791 a 2 {\displaystyle S={\frac {33}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{33}}\simeq 86.39791a^{2}} cos ( 2 π / 33 ) {\displaystyle \cos(2\pi /33)} は以下の関係式を用いて冪根で表せる。（正十一角形も参照） cos 2 π 33 = cos ( 8 π 11 − 2 π 3 ) = cos 8 π 11 cos 2 π 3 + sin 8 π 11 sin 2 π 3 = − 1 2 cos 8 π 11 + 3 2 sin 8 π 11 = − 1 4 2 + 2 cos 16 π 11 + 3 4 2 − 2 cos 16 π 11 = − 1 4 2 + 2 cos 6 π 11 + 3 4 2 − 2 cos 6 π 11 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{33}}=&\cos \left({\frac {8\pi }{11}}-{\frac {2\pi }{3}}\right)\\=&\cos {\frac {8\pi }{11}}\cos {\frac {2\pi }{3}}+\sin {\frac {8\pi }{11}}\sin {\frac {2\pi }{3}}\\=&-{\frac {1}{2}}\cos {\frac {8\pi }{11}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin {\frac {8\pi }{11}}\\=&-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2+2\cos {\frac {16\pi }{11}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}{\sqrt {2-2\cos {\frac {16\pi }{11}}}}\\=&-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2+2\cos {\frac {6\pi }{11}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}{\sqrt {2-2\cos {\frac {6\pi }{11}}}}\\\end{aligned}}} 関係式 Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から 2 cos 2 π 33 + 2 cos 4 π 33 + 2 cos 6 π 33 + 2 cos 8 π 33 + 2 cos 10 π 33 + 2 cos 12 π 33 + 2 cos 14 π 33 + 2 cos 16 π 33 + 2 cos 18 π 33 + 2 cos 20 π 33 + 2 cos 22 π 33 + 2 cos 24 π 33 + 2 cos 26 π 33 + 2 cos 28 π 33 + 2 cos 30 π 33 + 2 cos 32 π 33 = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {6\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}+2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {12\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}\\&+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {18\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {22\pi }{33}}+2\cos {\frac {24\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {30\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}=-1\end{aligned}}} ここで、以下の関係式を使って 2 cos 22 π 33 = 2 cos 2 π 3 = − 1 2 cos 6 π 33 + 2 cos 12 π 33 + 2 cos 18 π 33 + 2 cos 24 π 33 + 2 cos 30 π 33 = 2 cos 2 π 11 + 2 cos 4 π 11 + 2 cos 6 π 11 + 2 cos 8 π 11 + 2 cos 10 π 11 = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {22\pi }{33}}=2\cos {\frac {2\pi }{3}}=-1\,\\&2\cos {\frac {6\pi }{33}}+2\cos {\frac {12\pi }{33}}+2\cos {\frac {18\pi }{33}}+2\cos {\frac {24\pi }{33}}+2\cos {\frac {30\pi }{33}}\\&=2\cos {\frac {2\pi }{11}}+2\cos {\frac {4\pi }{11}}+2\cos {\frac {6\pi }{11}}+2\cos {\frac {8\pi }{11}}+2\cos {\frac {10\pi }{11}}=-1\\\end{aligned}}} 整理すると 2 cos 2 π 33 + 2 cos 4 π 33 + 2 cos 8 π 33 + 2 cos 10 π 33 + 2 cos 14 π 33 + 2 cos 16 π 33 + 2 cos 20 π 33 + 2 cos 26 π 33 + 2 cos 28 π 33 + 2 cos 32 π 33 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}+2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}=1\end{aligned}}} 以下のように定義すると（角度を5倍して振り分ける） α = 2 cos 2 π 33 + 2 cos 16 π 33 + 2 cos 4 π 33 + 2 cos 32 π 33 + 2 cos 8 π 33 β = 2 cos 10 π 33 + 2 cos 14 π 33 + 2 cos 20 π 33 + 2 cos 28 π 33 + 2 cos 26 π 33 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}\\&\beta =2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}\end{aligned}}} 以下の値が求められる。 α + β = 1 ( α − β ) 2 = 33 α − β = 33 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta =1\,\\&(\alpha -\beta )^{2}=33\\&\alpha -\beta ={\sqrt {33}}\\\end{aligned}}}
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