構成法 II
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/02 04:10 UTC 版)
いま一つの構成法は距離空間上の外測度の構成により適しており、計量外測度が得られる。距離空間 (X, d) において前節の如く X の部分集合族 C は空集合を含み、C 上の非負拡張実数値集合函数 p は空集合において消えているとす。任意の δ > 0 に対し、 C δ := { A ∈ C : diam ( A ) ≤ δ } {\textstyle C_{\delta }:=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}} および φ δ ( E ) := inf { ∑ i = 0 ∞ p ( A i ) : E ⊆ ⋃ i = 0 ∞ A i , ∀ i ∈ N , A i ∈ C δ } {\displaystyle \varphi _{\delta }(E):=\inf {\bigg \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i}):E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}} と置けば、明らかに δ ≤ δ′ のとき φδ ≥ φδ′ が成り立つ（これは δ が小さくなれば、下限をとる集合の範囲も小さくなることによる）。したがって lim δ → 0 φ δ ( E ) =: φ 0 ( E ) ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varphi _{\delta }(E)=:\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]} が存在する（ただし、値が無限大となる場合を許すという意味で言う）。 定理 このように得られる φ0 は X 上の計量外測度である。 この構成法は距離空間に対するハウスドルフ測度（英語版）の構成に用いられる。
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