射について
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/09 05:13 UTC 版)
数学においてよく知られた多くの圏と異なり、環の圏 Ring の任意の二対象の間には必ずしも射が存在するわけではない。これは（単位的）環準同型が単位元を保つという事実の反映である。例えば、零環 0 = {0} から任意の非零環への射は存在しない。環 R から S への射が存在するためには、S の標数が R の標数を割り切ることが必要条件である。 射集合が空となることがあってさえ、それでも始対象が存在するから、環の圏 Ring は連結（英語版）である。 Ring の射について、以下のことが言える: 環の圏 Ring における同型射は、一対一上への（つまり集合論的な意味で全単射な）環準同型で与えられる。 環の圏 Ring における単型射（圏論的単射）は、集合論的単射（つまり一対一の）環準同型である。しかし、任意の単型射は正則（英語版）とは限らない。 任意の集合論的全射（つまり上への）環準同型は Ring における全型射（圏論的全射）だが、逆は正しくない。包含環準同型 Z → Q は集合論的全射でない圏論的全射の例である。任意の可換環 R から、その任意の局所化への自然な環準同型は、圏論的全射であるが必ずしも集合論的全射となるわけではない。 集合論的全射な環準同型は Ring における正則（英語版）または極値的全射（英語版）として特徴づけられる（Ring においてこの二つの射のクラスは一致する）。 環の圏 Ring における双型射は一対一全型射（集合論的単射な圏論的全射）である。包含射 Z → Q は同型射でない双型射の例である。
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