定義と第一の帰結
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/28 15:30 UTC 版)
集合体 ( Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} とバナッハ空間 X {\displaystyle X} が与えられたとき、有限加法的ベクトル測度（あるいは、簡潔に測度）とは、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 内の任意の互いに素な集合 A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} に対して μ ( A ∪ B ) = μ ( A ) + μ ( B ) {\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)} が成り立つような関数 μ : F → X {\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X} のことを言う。 ベクトル測度 μ {\displaystyle \mu } が可算加法的であるとは、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 内の任意の互いに素な集合の列 ( A i ) i = 1 ∞ {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }} でその合併が F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に含まれるようなものに対して、 μ ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ μ ( A i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})} が成り立つことを言う。但し、右辺の級数はバナッハ空間 X {\displaystyle X} のノルムについて収束するものとする。 加法的ベクトル測度 μ {\displaystyle \mu } が可算加法的であるための必要十分条件は、上述のような任意の列 ( A i ) i = 1 ∞ {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }} に対して lim n → ∞ ‖ μ ( ⋃ i = n ∞ A i ) ‖ = 0 , ( ∗ ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\displaystyle \bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\quad \quad \quad (*)} が成り立つことである。ここで ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} は X {\displaystyle X} のノルムである。 σ-代数上で定義される可算加法的ベクトル測度は、測度や符号付測度、複素測度よりも一般的である。ただしそれらは、それぞれ拡大区間 [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} 、実数の集合、および複素数の集合上に値を取る可算加法的関数である。
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