定理の他の形とは? わかりやすく解説

定理の他の形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/10/14 08:07 UTC 版)

サードの定理」の記事における「定理の他の形」の解説

この定理にはいろいろな形が知られており、それぞれの分野において特異点理論の基礎となった。 まず、m = 1 の場合証明したのは1939年モースである(Morse 1939)。また、一般場合証明したのは1942年サードである(Sard 1942)。 さらに、無限次元バナッハ空間については、スメール証明した。 本定理は、高度な解析学用いて証明される強力な定理である。位相幾何学においては、(たとえば、ブラウワーの不動点定理諸々モース理論応用において)本定理の系である「定数写像でない滑らかな写像少なくとも 1 つ正則な値をとる」、あるいは「――したがって少なくとも 1 つ正則点がある」という定理を導くためにたびたび使われている。 1965年に、本定理サードによってさらに一般化された。それによると、f : M → N が Ck 級で、k ≧ max { n - m + 1, 1 } であるとし、M 上の点 x であって dfx の階数が r 以下であるような点 x 全体集合Arとするとき、f ( Ar ) のハウスドルフ次元は r 以下であるというのである

※この「定理の他の形」の解説は、「サードの定理」の解説の一部です。
「定理の他の形」を含む「サードの定理」の記事については、「サードの定理」の概要を参照ください。

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