反射性・直交性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/21 03:02 UTC 版)
定義 双線型形式 B: V × V → F が反射的 (reflexive) であるとは、V の全ての v, w に対して、B(v, w) = 0 ならば B(w, v) = 0 が成り立つことを言う。 反射的双線型形式 B : V × V → F に対し、V の v, w が B に関して直交 (orthogonal) するとは B(v, w) = 0 が成り立つこと（これは B(w, v) = 0 が成り立つこととしても同じ）を言う。 双線型形式 B が反射的であるには、それが対称的もしくは交代的の何れかとなることが必要十分である。反射性を落として考えるばあいには、左直交と右直交の概念を区別しなければならない。反射的空間においては左右の根基は一致し、自分以外の全てのベクトルと直交するようなベクトル全体の成す部分空間として、双線型形式の核、もしくは根基と呼ばれる。すなわち、行列表現 x をもつベクトル v が行列表現 A を持つ双線型形式の根基に属するというのは、Ax = 0 となること（いまの場合 xTA = 0 となることとしても同じ）である。根基は、常に V の部分空間である。根基が自明であることと、行列 A が非特異であることとは同値であり、従って、双線型形式が非退化であることとも同値である。 部分空間 W に対して、B に関する直交補空間は W ⊥ = { v ∣ B ( v , w ) = 0 ∀ w ∈ W } {\displaystyle W^{\perp }=\{v\mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0\ \forall \mathbf {w} \in W\}} で定義される。有限次元空間の上の非退化二次形式に対し、写像 W ↔ W⊥ は全単射であり、W⊥ の次元は dim(V) − dim(W) で与えられる。
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