原子間行列要素一覧
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/04 14:40 UTC 版)
1954年、 スレーターとコスターは主に遷移金属のdバンドについて原子間行列要素の一覧を発表した。 E i , j ( r n , n ′ ) = ⟨ n , i | H | n ′ , j ⟩ {\displaystyle E_{i,j}({\boldsymbol {r}}_{n,n'})=\langle n,i|H|n',j\rangle } これは忍耐力と努力があれば cubic harmonic[訳語疑問点] 軌道から愚直に計算できる。この一覧は二つの隣接する原子上のcubic harmonic 軌道[訳語疑問点] i, j の間のLCAO二中心結合積分を表わしている。結合積分は例えばσ結合、π結合、δ結合に対してそれぞれ Vssσ,Vppπ,Vddδ のように表記する。 原子間ベクトルは次のように表わされる。 r n , n ′ = ( r x , r y , r z ) = d ( l , m , n ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{n,n'}=(r_{x},r_{y},r_{z})=d(l,m,n)} ここで、 d は原子間の距離、l, m, n は隣接原子への方向余弦（英語版）[要リンク修正]である。 E s , s = V s s σ {\displaystyle E_{s,s}=V_{ss\sigma }} E s , x = l V s p σ {\displaystyle E_{s,x}=lV_{sp\sigma }} E x , x = l 2 V p p σ + ( 1 − l 2 ) V p p π {\displaystyle E_{x,x}=l^{2}V_{pp\sigma }+(1-l^{2})V_{pp\pi }} E x , y = l m V p p σ − l m V p p π {\displaystyle E_{x,y}=lmV_{pp\sigma }-lmV_{pp\pi }} E x , z = l n V p p σ − l n V p p π {\displaystyle E_{x,z}=lnV_{pp\sigma }-lnV_{pp\pi }} E s , x y = 3 l m V s d σ {\displaystyle E_{s,xy}={\sqrt {3}}lmV_{sd\sigma }} E s , x 2 − y 2 = 3 2 ( l 2 − m 2 ) V s d σ {\displaystyle E_{s,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}(l^{2}-m^{2})V_{sd\sigma }} E s , 3 z 2 − r 2 = [ n 2 − ( l 2 + m 2 ) / 2 ] V s d σ {\displaystyle E_{s,3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{sd\sigma }} E x , x y = 3 l 2 m V p d σ + m ( 1 − 2 l 2 ) V p d π {\displaystyle E_{x,xy}={\sqrt {3}}l^{2}mV_{pd\sigma }+m(1-2l^{2})V_{pd\pi }} E x , y z = 3 l m n V p d σ − 2 l m n V p d π {\displaystyle E_{x,yz}={\sqrt {3}}lmnV_{pd\sigma }-2lmnV_{pd\pi }} E x , z x = 3 l 2 n V p d σ + n ( 1 − 2 l 2 ) V p d π {\displaystyle E_{x,zx}={\sqrt {3}}l^{2}nV_{pd\sigma }+n(1-2l^{2})V_{pd\pi }} E x , x 2 − y 2 = 3 2 l ( l 2 − m 2 ) V p d σ + l ( 1 − l 2 + m 2 ) V p d π {\displaystyle E_{x,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}l(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }+l(1-l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }} E y , x 2 − y 2 = 3 2 m ( l 2 − m 2 ) V p d σ − m ( 1 + l 2 − m 2 ) V p d π {\displaystyle E_{y,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}m(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-m(1+l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }} E z , x 2 − y 2 = 3 2 n ( l 2 − m 2 ) V p d σ − n ( l 2 − m 2 ) V p d π {\displaystyle E_{z,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}n(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-n(l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }} E x , 3 z 2 − r 2 = l [ n 2 − ( l 2 + m 2 ) / 2 ] V p d σ − 3 l n 2 V p d π {\displaystyle E_{x,3z^{2}-r^{2}}=l[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt {3}}ln^{2}V_{pd\pi }} E y , 3 z 2 − r 2 = m [ n 2 − ( l 2 + m 2 ) / 2 ] V p d σ − 3 m n 2 V p d π {\displaystyle E_{y,3z^{2}-r^{2}}=m[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt {3}}mn^{2}V_{pd\pi }} E z , 3 z 2 − r 2 = n [ n 2 − ( l 2 + m 2 ) / 2 ] V p d σ + 3 n ( l 2 + m 2 ) V p d π {\displaystyle E_{z,3z^{2}-r^{2}}=n[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }+{\sqrt {3}}n(l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }} E x y , x y = 3 l 2 m 2 V d d σ + ( l 2 + m 2 − 4 l 2 m 2 ) V d d π + ( n 2 + l 2 m 2 ) V d d δ {\displaystyle E_{xy,xy}=3l^{2}m^{2}V_{dd\sigma }+(l^{2}+m^{2}-4l^{2}m^{2})V_{dd\pi }+(n^{2}+l^{2}m^{2})V_{dd\delta }} E x y , y z = 3 l m 2 n V d d σ + l n ( 1 − 4 m 2 ) V d d π + l n ( m 2 − 1 ) V d d δ {\displaystyle E_{xy,yz}=3lm^{2}nV_{dd\sigma }+ln(1-4m^{2})V_{dd\pi }+ln(m^{2}-1)V_{dd\delta }} E x y , z x = 3 l 2 m n V d d σ + m n ( 1 − 4 l 2 ) V d d π + m n ( l 2 − 1 ) V d d δ {\displaystyle E_{xy,zx}=3l^{2}mnV_{dd\sigma }+mn(1-4l^{2})V_{dd\pi }+mn(l^{2}-1)V_{dd\delta }} E x y , x 2 − y 2 = 3 2 l m ( l 2 − m 2 ) V d d σ + 2 l m ( m 2 − l 2 ) V d d π + [ l m ( l 2 − m 2 ) / 2 ] V d d δ {\displaystyle E_{xy,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}lm(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }+2lm(m^{2}-l^{2})V_{dd\pi }+[lm(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }} E y z , x 2 − y 2 = 3 2 m n ( l 2 − m 2 ) V d d σ − m n [ 1 + 2 ( l 2 − m 2 ) ] V d d π + m n [ 1 + ( l 2 − m 2 ) / 2 ] V d d δ {\displaystyle E_{yz,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}mn(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }-mn[1+2(l^{2}-m^{2})]V_{dd\pi }+mn[1+(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }} E z x , x 2 − y 2 = 3 2 n l ( l 2 − m 2 ) V d d σ + n l [ 1 − 2 ( l 2 − m 2 ) ] V d d π − n l [ 1 − ( l 2 − m 2 ) / 2 ] V d d δ {\displaystyle E_{zx,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}nl(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }+nl[1-2(l^{2}-m^{2})]V_{dd\pi }-nl[1-(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }} E x y , 3 z 2 − r 2 = 3 [ l m ( n 2 − ( l 2 + m 2 ) / 2 ) ] V d d σ − 2 l m n 2 V d d π + [ l m ( 1 + n 2 ) / 2 ] V d d δ ] {\displaystyle E_{xy,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[lm(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)]V_{dd\sigma }-2lmn^{2}V_{dd\pi }+[lm(1+n^{2})/2]V_{dd\delta }\right]} E y z , 3 z 2 − r 2 = 3 [ m n ( n 2 − ( l 2 + m 2 ) / 2 ) V d d σ + m n ( l 2 + m 2 − n 2 ) V d d π − [ m n ( l 2 + m 2 ) / 2 ] V d d δ ] {\displaystyle E_{yz,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[mn(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }+mn(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{dd\pi }-[mn(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\delta }\right]} E z x , 3 z 2 − r 2 = 3 [ l n ( n 2 − ( l 2 + m 2 ) / 2 ) V d d σ + l n ( l 2 + m 2 − n 2 ) V d d π − [ l n ( l 2 + m 2 ) / 2 ] V d d δ ] {\displaystyle E_{zx,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[ln(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }+ln(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{dd\pi }-[ln(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\delta }\right]} E x 2 − y 2 , x 2 − y 2 = 3 4 ( l 2 − m 2 ) 2 V d d σ + [ l 2 + m 2 − ( l 2 − m 2 ) 2 ] V d d π + [ n 2 + ( l 2 − m 2 ) 2 / 4 ] V d d δ {\displaystyle E_{x^{2}-y^{2},x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{4}}(l^{2}-m^{2})^{2}V_{dd\sigma }+[l^{2}+m^{2}-(l^{2}-m^{2})^{2}]V_{dd\pi }+[n^{2}+(l^{2}-m^{2})^{2}/4]V_{dd\delta }} E x 2 − y 2 , 3 z 2 − r 2 = 3 [ ( l 2 − m 2 ) [ n 2 − ( l 2 + m 2 ) / 2 ] V d d σ / 2 + n 2 ( m 2 − l 2 ) V d d π + [ ( 1 + n 2 ) ( l 2 − m 2 ) / 4 ] V d d δ ] {\displaystyle E_{x^{2}-y^{2},3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[(l^{2}-m^{2})[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\sigma }/2+n^{2}(m^{2}-l^{2})V_{dd\pi }+[(1+n^{2})(l^{2}-m^{2})/4]V_{dd\delta }\right]} E 3 z 2 − r 2 , 3 z 2 − r 2 = [ n 2 − ( l 2 + m 2 ) / 2 ] 2 V d d σ + 3 n 2 ( l 2 + m 2 ) V d d π + 3 4 ( l 2 + m 2 ) 2 V d d δ {\displaystyle E_{3z^{2}-r^{2},3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]^{2}V_{dd\sigma }+3n^{2}(l^{2}+m^{2})V_{dd\pi }+{\frac {3}{4}}(l^{2}+m^{2})^{2}V_{dd\delta }} ここに示さなかった行列成分もあるが、それらはここに示した行列成分の添字と方向余弦を並べ変えれば得られる。
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