分離非代数拡大体の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/16 08:54 UTC 版)
分離拡大の理論の多くの重要な応用は代数体拡大の文脈から生じるが、数学において（代数的とは限らない）分離体拡大を研究することが有益な重要な例がある。 F/k を体の拡大とし p を k の characteristic exponent とする。k の任意の体拡大 L に対し、FL = L ⊗k F と書く（cf. 体のテンソル積）。このとき F は以下の同値な条件が成り立つときにk 上分離的 (separable over k) という。 Fp と k は kp 上線型無関連である。 Fk1/p は被約である。 FL は k のすべての体拡大 L に対して被約である。 （言い換えれば、F は分離 k-代数であれば k 上分離的である。） F/k の分離超越基底 (separating transcendence basis) は F の代数的独立な部分集合 T であって F/k(T) が有限分離拡大であるようなものである。拡大 E/k が分離的であることと E/k のすべての有限生成部分拡大 F/k が分離超越基底をもつことは同値である。 k の体拡大 L で FL が整域になるようなものが存在したとしよう。すると F が k 上分離的であることと FL の分数体が L 上分離的であることは同値である。 F の代数的な元はその最小多項式が分離的なときに k 上分離的 (separable over k) という。F/k が代数拡大であれば以下は同値である。 F は k 上分離的である。 F は k 上分離的な元からなる。 F/k のすべての部分拡大は分離的である。 F/k のすべての有限部分拡大は分離的である。 F/k が有限拡大であれば、以下は同値。 (i) F は k 上分離的。 (ii) F = k ( a 1 , . . . , a r ) {\displaystyle F=k(a_{1},...,a_{r})} ただし a 1 , . . . , a r {\displaystyle a_{1},...,a_{r}} は k 上分離的。 (iii) (ii) において r = 1 ととれる。 (iv) K が k の代数閉包であれば、k を固定する F の K への埋め込みはちょうど [F : k] 個存在する。 (v) K が k の任意の正規拡大で F の K への埋め込みが少なくとも1つ存在すれば、k を固定する F の K への埋め込みはちょうど [F : k] 個存在する。 上記において (iii) は原始元定理として知られている。 代数的閉包 k を固定し、k 上分離的な k のすべての元からなる集合を ks で表記する。すると ks は k 上分離代数的であり k の任意の分離代数拡大は ks に含まれる。それは k の（kにおける）分離閉包 (separable closure) と呼ばれる。このとき k は ks 上純非分離である。別の言い方をすれば、k が完全であることと k = ks は同値である。
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