共役作用素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「共役作用素」の解説
T : H 1 → H 2 {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} を稠密に定義された線形作用素とする。ベクトル ψ ∈ H 2 {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}_{2}} に対し、以下の性質を満たす ψ ′ ∈ H 1 {\displaystyle \psi '\in {\mathcal {H}}_{1}} を考える： 任意の ϕ ∈ D o m ( T ) {\displaystyle \phi \in \mathrm {Dom} (T)} に対し、 ⟨ ψ ′ , ϕ ⟩ = ⟨ ψ , T ( ϕ ) ⟩ {\displaystyle \langle \psi ',\phi \rangle =\langle \psi ,T(\phi )\rangle } このような ψ ′ {\displaystyle \psi '} は常に存在するとは限らないが、存在すれば一意である事を示せる新井(p82-83)。そこで共役作用素を以下のように定義する： 定義 (共役作用素) ― D o m ( T ∗ ) = { ψ ∈ H 2 : {\displaystyle \mathrm {Dom} (T^{*})=\{~\psi \in {\mathcal {H}}_{2}~:~} 上述の性質を満たす ψ ′ {\displaystyle \psi '} が存在する } {\displaystyle \}} とし、線形写像T*を T ∗ : D o m ( T ∗ ) → H 1 , ψ ↦ ψ ′ {\displaystyle T^{*}~:~\mathrm {Dom} (T^{*})\to {\mathcal {H}}_{1},\quad \psi \mapsto \psi '} により定義し、T*をTの共役作用素という新井(p82-83)。 定義より明らかに 任意の x ∈ D o m ( T ) ∩ D o m ( T ∗ ∗ ) {\displaystyle x\in \mathrm {Dom} (T)\cap \mathrm {Dom} (T^{**})} に対し、 T ∗ ∗ ( x ) = T ( x ) {\displaystyle T^{**}(x)=T(x)} であるが、Tが有界とは限らない時、Tが稠密に定義されていたとしてもT*が稠密に定義されることもT**とTの定義域が一致する事も無条件には保証されない新井(p83-84)が、Tが可閉であればこれらは保証される： 定理 ― Tが可閉であれば以下が成立する： T*が稠密に定義される⇔Tが可閉作用素新井(p90) D o m ( T ∗ ∗ ¯ ) = D o m ( T ¯ ) {\displaystyle \mathrm {Dom} ({\overline {T^{**}}})=\mathrm {Dom} ({\bar {T}})}
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