可閉作用素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「可閉作用素」の解説
定義 (閉作用素、可閉作用素、閉包作用素) ― 稠密に定義された線形作用素 T : H 1 → H 2 {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} が以下を満たすとき、Tは閉作用素であるという： 点列 { ψ } n ⊂ H 1 {\displaystyle \{\psi \}_{n}\subset {\mathcal {H}}_{1}} が ( ψ n , S ( ψ n ) ) → ( φ , χ ) ∈ H 1 × H 2 {\displaystyle (\psi _{n},S(\psi _{n}))\to (\varphi ,\chi )\in {\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}} となる(φ,χ)を持てば、 φ ∈ D o m ( T ) {\displaystyle \varphi \in \mathrm {Dom} (T)} であり、しかもχ=T(φ)が成立する新井(p86-87)。 また稠密に定義された線形作用素 T : H 1 → H 2 {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} が、拡大 S ⊃ T {\displaystyle S\supset T} でSが閉作用素であるものを持つとき、Tは可閉作用素であるという新井(p86-87)。 Tが可閉作用素であるとき、Tの拡大線形作用素 S ⊃ T {\displaystyle S\supset T} で上記の性質を満たす（包含関係に関する）最小のもの T ¯ {\displaystyle {\bar {T}}} が必ず存在することが知られており、 T ¯ {\displaystyle {\bar {T}}} をTの閉包作用素という新井(p86-87)。 Tが可閉作用素である必要十分条件は、任意の点列ψn∈Dom(T)に対し、n→∞のときψn→0かつT(ψn)→χであればχ=0が成立する事である新井(p87)。
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