光子数と位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/30 01:47 UTC 版)
コヒーレント状態は、光子の消滅演算子の固有状態となっている。つまりコヒーレント状態から光子を１個消滅させても、量子状態が変化しない。 a ^ | α ⟩ = α | α ⟩ {\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle } コヒーレント状態の光子数を測定したとき、測定値が n {\displaystyle n} 個となる確率は P n = | ⟨ n | α ⟩ | 2 {\displaystyle P_{n}=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}} で与えられる。 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } は光子数状態、光子数確定状態、フォック状態などと呼ばれる。これを計算すると、ポアソン分布になっていることがわかる。 P n = | ⟨ n | α ⟩ | 2 = ( | α | 2 ) n n ! exp [ − | α | 2 ] {\displaystyle P_{n}=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {(|\alpha |^{2})^{n}}{n!}}\exp[-|\alpha |^{2}]} | n ⟩ = 1 n ! ( a ^ † ) n | 0 ⟩ {\displaystyle |n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}({\hat {a}}^{\dagger })^{n}|0\rangle } ポアソン分布は、個々の事象が互いに無相関に起こるときに現れる分布である。ポアソン分布の性質より、光子数の測定値の平均値と分散は一致する。 ⟨ n ⟩ ( = ⟨ α | n ^ | α ⟩ ) = ⟨ ( Δ n ) 2 ⟩ = | α | 2 {\displaystyle \langle n\rangle (=\langle \alpha |{\hat {n}}|\alpha \rangle )=\langle (\Delta n)^{2}\rangle =|\alpha |^{2}} コヒーレント状態の光子数分布は、熱平衡における光子数分布と著しく異なっている。しきい値より十分高い励起を与えられたレーザーの出力光の光子数分布は、コヒーレント状態に近くなっている。 コヒーレント状態の振幅を α = | α | e i ϕ {\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\phi }} のように振幅と位相に分けて書くと、異なる光子数 n {\displaystyle n} の状態 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } にポアソン分布に対応する振幅 P ( n ) {\displaystyle {\sqrt {P(n)}}} と光子1個あたり e i ϕ {\displaystyle e^{i\phi }} という共通の位相をつけて重ね合わせた状態がコヒーレント状態であることがわかる。 | α ⟩ = ∑ n P ( n ) ( e i ϕ ) n | n ⟩ = exp [ − 1 2 | α | 2 ] ∑ n α n n ! | n ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n}{\sqrt {P(n)}}(e^{i\phi })^{n}|n\rangle =\exp {\bigg [}-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}{\bigg ]}\sum _{n}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle } つまりコヒーレント状態は、位相がそろっている反面、光子数分布はランダムである。また真空状態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } は光子数確定状態であり、かつコヒーレント状態でもあることがわかる。
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