元の定義との同値性の証明の概要
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:14 UTC 版)
「リーマン積分」の記事における「元の定義との同値性の証明の概要」の解説
先に述べたように、これらの二つの定義は同値である。つまり、前者の定義における s が存在するための必要十分条件は後者の定義における s が存在することである。前者から後者が出ることは、ε に対して条件を満足する δ を取り、大きさが δ より小さい点付き分割を選べば、s との差が ε より小さいリーマン和とその分割の任意の細分に対して、細分の大きさはやはり δ より小さいから、細分のリーマン和もやはり s との差が ε 内に収まることからわかる。後者から前者が出ることはダルブー積分を用いれば容易にわかる。まず後者の定義からダルブー積分の定義が出ることはダルブー積分（英語版）の項を見よ。いま、ダルブー積分函数が前者の定義を満たすことを示す。ε を止めて、分割 y0, …, ym を、対応する上ダルブー和および下ダルブー和がダルブー積分の値 s との差が ε/2 に収まるように選ぶ。I 上の |f(x)| の上限を r とするとき、r = 0 ならば f は恒等的に 0 になる零写像で明らかにリーマン積分もダルブー積分も 0 になるから、以下 r > 0 の場合を考える。m > 1 ならば δ を ε/2r(m − 1) と min{yi+1 − yi} の両方よりも小さくとり、m = 1 ならば δ を 1 より小さくとる。点付き分割 (x0, …, xn; t0, …, tn−1) を選んでそのリーマン和と s との差が ε より小さいことを示さなければならない。 これを見るのに、小区間 [xi, xi+1] を選ぶ。この小区間が適当な小区間 [yj, yj+1] に含まれるならば ƒ(ti) の値は [yj, yj+1] における f の下限 mj と上限 Mj の間にある。全ての小区間がこの性質を持つならば、リーマン和の各項はダルブー和の対応する項で抑えられ、ダルブー和の値を s に近づけることができるから、これで証明は完結する。これは m = 1 の場合であり、証明は終わっているから、以下 m > 1 と仮定する。この場合、ある [xi, xi+1] がどの [yj, yj+1] にも含まれないかもしれない。それどころか、分割 y0, …, ym の二つの小区間に亘って交わりを持つ可能性もある（δ がどの小区間の長さよりも小さいと仮定したから、三つ以上の小区間に亘ることはない）。つまり、記号で書けば、 y j < x i < y j + 1 < x i + 1 < y j + 2 {\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}} なることが起こり得るということである（ここで全ての不等号は真の不等号であると仮定してよい。なぜならば、そうでなければ長さが δ であると仮定して先ほどの場合に帰着されるからである）。これが起きるのは高々 m − 1 回である。この場合を上手く扱うために、分割 x0, …, xn を yj+1 で細分してリーマン和とダルブー和との差を評価すると、リーマン和の項 ƒ(ti)(xi − xi+1) は二つの項 f ( t i ) ( x i − x i + 1 ) = f ( t i ) ( x i − y j + 1 ) + f ( t i ) ( y j + 1 − x i + 1 ) {\displaystyle f(t_{i})(x_{i}-x_{i+1})=f(t_{i})(x_{i}-y_{j+1})+f(t_{i})(y_{j+1}-x_{i+1})} に分かれる。ti ∈ [xi, xi+1] と仮定すると、mj ≤ ƒ(ti) ≤ Mj であるから、この項は yj に対応するダルブー和の対応する項で抑えられる。他の項を抑えるために、yj+1 − xi+1 が δ より小さいことに注意して、δ を ε/2r(m − 1)（ただし r は |ƒ(x)| の上限）より小さく取れば、第二項は ε/2(m − 1) より小さい。これが起きるのは高々 m − 1 回であるから、ダルブー和で抑えられない項の総計は高々 ε/2 になる。従って、リーマン和と s との差は高々 ε になる。
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