位相群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/06/22 16:41 UTC 版)
位相群の単位元を含む連結成分 (identity component) は必ず特性部分群である。
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位相群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
本節では位相群に一様構造が入る事を見る。 定理・定義 ― ( G , O ) {\displaystyle (G,{\mathcal {O}})} を位相群とする。Gの単位元eの開近傍 O ∈ O e {\displaystyle O\in {\mathcal {O}}_{e}} に対し、 O L = { ( x , y ) ∈ G 2 ∣ x − 1 y ∈ O } {\displaystyle O_{L}=\{(x,y)\in G^{2}\mid x^{-1}y\in O\}} 、 O R = { ( x , y ) ∈ G 2 ∣ x y − 1 ∈ O } {\displaystyle O_{R}=\{(x,y)\in G^{2}\mid xy^{-1}\in O\}} と定義すると、 B L = { O L ∣ O ∈ O e } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{L}=\{O_{L}\mid O\in {\mathcal {O}}_{e}\}} 、 B R = { O R ∣ O ∈ O e } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}=\{O_{R}\mid O\in {\mathcal {O}}_{e}\}} はいずれも一様構造の基底となる。 B L {\displaystyle {\mathcal {B}}_{L}} 、 B R {\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}} を基底とする一様構造 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} をそれぞれGの左一様構造（英: left unifomity）、右一様構造（英: right unifomity）という。 さらに L ∪ R {\displaystyle {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {R}}} を準基底とする一様構造 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} が存在し、これを両側一様構造（英: two-sided unifomity）という。 これら３つの一様構造の定める位相構造はもとの位相構造と一致する： 定理 ― 上と同様に記号を定義するとき、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 、 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} が定める位相構造はいずれも O {\displaystyle {\mathcal {O}}} と一致する。 特別な名称はないものの L ∩ R {\displaystyle {\mathcal {L}}\cap {\mathcal {R}}} によって生成される一様構造も考える事ができる。 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} はそれぞれ左不変、右不変な擬距離の集合により特徴づける事ができるがこれについては後述する。
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