仮設計量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/02 07:39 UTC 版)
f, g を等方座標 r の不定関数としたときの上述の線素は、一般相対性理論（または他の計量重力理論（英語版））において静的球対称解を導く際の仮設 (Ansatz) 計量としてしばしば用いられる。 例示として、カルタンの外微分法を用いて接続と曲率（英語版）を計算する方法を挙げてみよう。まず、線素から余標構場（英語版）[訳語疑問点] σ 0 = − f ( r ) d t {\displaystyle \sigma ^{0}=-f(r)\,\mathrm {d} t} σ 1 = g ( r ) d r {\displaystyle \sigma ^{1}=g(r)\,\mathrm {d} r} σ 2 = g ( r ) r d θ {\displaystyle \sigma ^{2}=g(r)\,r\,\mathrm {d} \theta } σ 3 = g ( r ) r sin ( θ ) d ϕ {\displaystyle \sigma ^{3}=g(r)\,r\,\sin(\theta )\,\mathrm {d} \phi } が読み取れる。ここで、f, g は r の滑らかな不定関数とする（この時空がこのような特定の三角関数形式を許すという事実は、静的球対称ローレンツ多様体上の等方チャートの記法のもう一つの等価な表現である）。外微分をとってカルタン第一構造方程式を用いると、次の非零の「接続 1-形式」が得られる。 ω 0 1 = f ′ d t g {\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {f'\,\mathrm {d} t}{g}}} ω 1 2 = − ( 1 + r g ′ g ) d θ {\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-\left(1+{\frac {r\,g'}{g}}\right)\,\mathrm {d} \theta } ω 1 3 = − ( 1 + r g ′ g ) sin ( θ ) d ϕ {\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-\left(1+{\frac {r\,g'}{g}}\right)\,\sin(\theta )\,\mathrm {d} \phi } ω 2 3 = − cos ( θ ) d ϕ {\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos(\theta )\,\mathrm {d} \phi } 再度外微分をとってカルタン第二構造方程式を用いれば、「曲率 2-形式」が得られる。
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