ルート長方形とは？わかりやすく解説

縦と横の長さの比が $1 : \sqrt 2$ , $1 : (1 + \sqrt 2)$ の長方形における性質。左上の頂点から右上がりの対角線に垂線を引き、その交点を第1交点とする。その垂線が下底に反射したときの直線と右上がりの対角線の交点を第2交点とする。
$1 : \sqrt 2$ の場合は、第1交点と第2交点が縦横共に3等分できる位置にある。
$1 : (1 + \sqrt 2)$ の場合は、第2交点が、左下の頂点との距離が1で、左下の角の2等分線上にある。

白銀比（はくぎんひ）と呼ばれるものは以下の2つがあり、いずれも無理比である。なお、記号は「 $σ$ 」である。

比 $1:(1+{\sqrt {2}})$

$1 : \sqrt 2$ の白銀比の長方形（緑色）を図のように3個並べると、正三角形（赤色）ができる。

合同な直角二等辺三角形を張り合わせて黄金長方形、白銀長方形（大和比）を作り、それらから正三角形を作った例。

直径が $1$ と $\sqrt 2$ の円の外接時の両円への接線（外接点を通らないもの）2本の交点と円との最短距離は「 $1+ \sqrt 2$ 」となっている。

半径が１と「 $1+ \sqrt 2$ 」の正円が互いに外接する場合、両円への接線（両円の接点を通過しないもの）２本の交点と正円との最短距離は $\sqrt 2$ となる。

図形の相似縮小において、面積を変更前の半分にする場合、対応する箇所の長さ（距離）についてそれぞれ変更前 : 変更後 = $\sqrt 2 :1$ とすることで実現できる。（図中の緑の三角形と青の台形の面積は互いに等しい。）

大和比の長方形（赤）の対角線・長辺・短辺の長さの比を活用すると、正円の面積をそれと同心の正円で三等分（緑・桃・黄）できる。

図のように、半径 $\sqrt n$ の正円と、その円周上に中心 ( $P$ ) を持つ半径 $\sqrt 2$ の正円を描いた場合、両円の共通弦は両円心間直線の $P$ 側からの $1 / n$ の区切りを示す垂線となる。

白銀長方形と工業規格

一辺と他辺が $1 : (1+ \sqrt 2)$ となる長方形を白銀長方形（英語: silver rectangle）と呼ぶ。また、 $1 : \sqrt 2$ の白銀比の長方形も白銀長方形と呼ばれる^[2]ため注意が必要だが、こちらはルート長方形とも呼ぶ。以下、混同を防ぐため、 $1 : (1+ \sqrt 2)$ の白銀比の長方形を「 $1 : (1+ \sqrt 2)$ 白銀長方形」、 $1 : \sqrt 2$ の白銀比の長方形を「 $1 : \sqrt 2$ 白銀長方形」とする。
ISO 216規格で定められる紙の寸法は $1 : \sqrt 2$ 白銀長方形となっているが、このような長方形は、長辺の中点を結ぶ線分で折ると、出来た長方形は元の長方形と相似となる。例としてA4規格の紙を2分割して得られる長方形がA5規格である。
写真レンズの開口比（いわゆる絞り値、F値）の

$1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, \dots$

という系列のように、対象がパラメータの値の自乗で変化するようなものにも現れることがある。
$1 : (1+ \sqrt 2)$ 白銀長方形と $1 : \sqrt 2$ 白銀長方形には相関性がある。 $1 : (1+ \sqrt 2)$ 白銀長方形から最大限の大きさの正方形を切り取ったときに残る長方形は $1 : \sqrt 2$ 白銀長方形となり、 $1 : \sqrt 2$ 白銀長方形から最大限の大きさの正方形を切り取ったときに残る長方形は $1 : (1+ \sqrt 2)$ 白銀長方形となる。

白銀比の作図

正方形から作図した白銀比。

白銀比を作図するには $1 : \sqrt 2$ を作図すればよいが、これは正方形（作図可能）から容易に得られる。

脚注

^ Buitrago, Antonia Redondo (2008). "Polygons, Diagonals, and the Bronze Mean", Nexus Network Journal 9,2: Architecture and Mathematics, p.321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993

^ ^a ^b ^c 岩本誠一・江口将生・吉良知文　黄金・白銀・青銅 : 数と比と形と率と

関連項目

数学定数

貴金属比

黄金比

貴金属比#青銅比

ペル数

数学的な美

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Silver Ratio". mathworld.wolfram.com (英語).

Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

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etc...

[mean2-1] Buitrago, Antonia Redondo (2008). "Polygons, Diagonals, and the Bronze Mean", Nexus Network Journal 9,2: Architecture and Mathematics, p.321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993

[mean-2] 岩本誠一・江口将生・吉良知文　黄金・白銀・青銅 : 数と比と形と率と

[1]

[2]

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白銀比

白銀長方形と工業規格

白銀比の作図

脚注

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外部リンク

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